淺談函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學解題中的應用

胡建峰

【摘要】函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學思想之一，它在數(shù)學解題過程中廣泛應用，包含了函數(shù)與方程的共同優(yōu)點，是高中生學習掌握數(shù)學思想必不可少的一部分.在數(shù)學課堂教學過程中，教師通常引導學生利用已知條件去建立函數(shù)或者方程去解決問題，進而提高學生的解題效率和正確率.文章深入探討了函數(shù)與方程思想的內(nèi)涵，并結(jié)合具體的數(shù)學實例去說明函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學解題中的應用.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學；解題能力；函數(shù)與方程思想

目前，在高中數(shù)學中，方程與函數(shù)的相關(guān)知識是非常重要的知識點.函數(shù)與方程思想是高中學生解決數(shù)學問題必須掌握的，同時是高中生學習數(shù)學思想非常關(guān)鍵的一部分.但一部分學生在函數(shù)與方程的相關(guān)學習過程中，總會遇到函數(shù)與方程轉(zhuǎn)化過程中的各種問題，從而導致在學習過程中出現(xiàn)差錯.所以，在教學過程中，數(shù)學教師不僅要教會學生做對函數(shù)與方程的相關(guān)題目，還要教會學生如何運用函數(shù)與方程思想解決問題.另外，在日常教學過程中，數(shù)學教師也會發(fā)現(xiàn)掌握函數(shù)與方程思想的學生在解答函數(shù)與方程問題的時候，經(jīng)常可以做到舉一反三.因此，數(shù)學教師要指導學生不斷提高自身的函數(shù)與方程思想，培養(yǎng)學生的數(shù)學知識學習能力與解決數(shù)學問題的能力.

一、函數(shù)與方程思想的簡述

函數(shù)思想是指人們從運動變化的角度，去研究分析數(shù)學中的數(shù)量關(guān)系，然后建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖像與性質(zhì)去分析和解決相關(guān)的問題.方程思想是分析數(shù)學中的等量關(guān)系，從而去構(gòu)建方程或方程組，通過求解或利用方程的性質(zhì)去分析解決問題.方程與函數(shù)思想是結(jié)合上述兩種思想方法，讓學生從建立函數(shù)與方程的角度去看問題，建立未知與已知之間的關(guān)系式，從而將問題求解轉(zhuǎn)化到函數(shù)或方程的求解上.

二、函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學解題中的應用

在高中的數(shù)學學習過程中，學生經(jīng)常會面臨題干中所給的參數(shù)未知或者題干信息不全的情況，通常在這種情況下，學生可以先將未知參數(shù)視為特定條件，并將其代入題目中，尋找它們之間存在的關(guān)系，從而建立函數(shù)或者方程，然后以解答函數(shù)或者方程的形式去解決問題.

（一）在三角函數(shù)問題中的應用

在三角函數(shù)的題型中，經(jīng)常會涉及最值問題的求解，此時學生便可以利用題目中所給的條件來建立方程，并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)去解題，提高解題效率.

例1 某一農(nóng)場主打算在自己的矩形農(nóng)場ABCD里放養(yǎng)牛群和羊群，為了防止牛群跟羊群混淆，現(xiàn)農(nóng)場主將牛群放在矩形農(nóng)場的左邊（AD邊）進行放養(yǎng)，將羊群放在矩形農(nóng)場的右邊（BC邊）進行放養(yǎng)，把牛群跟羊群的運動軌跡比作圖1中的AN，BM，而農(nóng)場主住在矩形農(nóng)場AB邊的中點O點，農(nóng)場主每天從家走到牛群，然后從牛群走到羊群，再從羊群走回家，行程路徑正好是一個三角形，其中農(nóng)場主從家走到牛群的路徑和從羊群走回家的路徑形成直角，如圖1所示，已知AB=100米，BC=503米.

（1）設(shè)∠BOM=α，試將△OMN的周長L表示成α的函數(shù)關(guān)系式，并求出函數(shù)的定義域；

（2）農(nóng)場主發(fā)現(xiàn)，自己每走一米路程，需要花費0.8秒，試問：當牛群和羊群在哪里時，農(nóng)場主走一圈花費的時間最少？并求出最少時間.

分析 針對第（1）問，求△OMN的周長，需要分別計算OM，ON和MN的邊長，然后將三者相加.又因為點M在邊BC上，點N在邊AD上，點N和點M是運動的，要考慮點N和點M運動的臨界點，從而得到角α的范圍，進而推算出函數(shù)的定義域.針對第（2）問，因為要求的花費時間最少，且行走路程均為勻速，即取△OMN的周長的最小值即可.

所以當BM=AN=50米時，花費時間最低，最少時間用為80（2+1）秒.

（二）在直線與圓的方程問題中的應用

在直線與圓的方程中，直線與圓之間存在著一定的關(guān)系，這些關(guān)系都可以作為學生構(gòu)建方程或函數(shù)的條件.學生通過對未知線段進行設(shè)值，并且結(jié)合幾何關(guān)系建立方程組并求解方程組，能夠有效提高解題的正確率和速度.

例2 如圖2所示，在平面直角坐標系中，有長方形ABCD，長方形ABCD對角線的交點為E（1，1），AB邊所在直線的方程為x-y-2=0，點F（-3，1）在AD邊所在直線上.

（1）求AD邊所在直線的方程；

（2）求長方形ABCD外接圓的方程.

分析 針對第（1）問，由題干知直線AD經(jīng)過點F，又因為直線AB⊥直線AD，直線AB的斜率題干中已給，所以就可以求出直線AD的斜率，將直線AD的斜率和經(jīng)過點帶入點斜式的方程中，便可以得到最終結(jié)果.針對第（2）問，首先，利用直線AD和直線AB相交于A點，得到A點的坐標，其次利用點E是長方形ABCD的中點，推導出E為長方形ABCD外接圓的圓心，則半徑是線段AE的長，最后，利用圓的方程公式，計算矩形ABCD外接圓的方程.

（四）在等式、不等式方程組問題中的應用

在高中的許多數(shù)學問題中，經(jīng)常會出現(xiàn)兩個未知數(shù)，在這種情況下，我們就要學會列方程組解決問題.學生在面對方程組問題時，先要找出問題中的兩個未知數(shù)，以及它們之間的關(guān)系，從而列方程組，化簡求解，從而得到最終結(jié)果.

例4 胡經(jīng)理到一個機器廠家去選購M，N兩種型號的小型零件，若購買M型號零件60個，N種型號零件100個，需要700元；若購進M型號零件100個，N種型號零件50個，同樣需要700元.

（1）求M，N兩種型號的小型零件分別為多少元？

（2）若銷售1個M型零件可獲利3元，銷售1個N型零件可獲利2元，根據(jù)公司要求，購買的M型零件數(shù)量是購進N型零件數(shù)量的2倍少10個，且M型零件最多可買進80個，這些零件全部售出后，總獲利不少于322元，有幾種購買方案？胡經(jīng)理該如何進貨？

結(jié) 語

函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學思想最基礎(chǔ)的內(nèi)容之一，它在高中數(shù)學解題中被廣泛應用，學生學好函數(shù)與方程思想，便可以在高中的數(shù)學解題過程中利用題干中已知條件構(gòu)建方程，并且通過求解方程解答問題.在日常的教學當中，教師在詳細講述解答題目的過程中，也要去掉一些不必要的過程，從而使題目的求解過程更加簡單明了，這樣有利于提高高中生的解題能力和解題效率，加深高中生對方程與函數(shù)思想的了解.

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