非線性偽振子的高精度解析近似解

劉偉佳,趙旭奇

(吉林師范大學數學與計算機學院,吉林 四平136000)

0 引言

本文討論一類非線性常微分方程的初值問題:

(1)

從物理學上講,這個方程描述了注入等離子體管的電子束中電子所走路徑的粗略模型[1].研究者用很多方法研究了上述方程的解析近似解,例如,同倫攝動法[2]、諧波平衡法[3-5]、Linstedt-Poincaré方法[6]、牛頓諧波平衡法[7]、橢圓平衡法[8]等.GADELLA和LARA[9]證明了上述系統不可能存在周期解.盡管在已有的工作中[7,9]使用第一積分方法構造了精確解,然而精確解依賴于正態分布積分函數erf的逆函數,這個函數不是顯式形式,不容易被應用.

諧波平衡法的突出特點是不要求所求解的非線性振動問題的非線性項是小量,但難以構造更高精度的近似解.根據上述問題,WU等[10]基于預估-校正的思想,結合牛頓法對諧波平衡法進行改進.本文用預估-校正諧波平衡法求解方程(1),僅應用一次預估-校正迭代便可得到顯式的、簡潔的、高精度的近似周期與周期解.

1 求解過程

上述非線性系統(1)的精確周期和相應的周期解為

(2)

(3)

(4)

基于新的變量τ=ωt,方程(4)可以寫成:

(5)

其中,Ω=ω2,根據單項諧波平衡近似,設初始近似為

u0(τ)=Acosτ.

(6)

將式(6)代入方程(5),將所得結果展成Fourier級數,并設cosτ的系數為零,即可得到Ω關于A的表達式:

(7)

因此,非線性振動的一階近似值為

(8)

(9)

根據前述的推導,周期解和頻率的平方值可表示為

u=u0+Δu10, Ω=Ω0+ΔΩ10.

(10)

將式(10)代入方程(5),并忽略Δu10和ΔΩ10的二次及更高次項,得到

(11)

上式中的Δu10是關于變量τ的周期為2π的周期函數,Δu10和ΔΩ10都為待求量.式(11)的解析解可以通過將Δu10(τ)設成滿足方程(11)的初始條件的下述形式推導出.

Δu10(τ)=x10(cosτ-cos3τ).

(12)

將式(6)和式(12)代入式(11),將結果展成三角級數,并分別設cosτ和cos3τ的系數為零,解出未知量x10和ΔΩ10:

因此,非線性振動的預估近似周期和周期解可以寫成:

(13)

(14)

基于上述預測,方程組(4)的周期解和頻率進一步表示為

u=up+Δu20, Ω=Ωp+ΔΩ20.

(15)

將式(15)代入式(5)中,并關于修正項Δu20和ΔΩ20在u=u0,Ω=Ω0處線性化,得到方程組:

(16)

為了改進近似值的精確性,Δu20取滿足方程組(16)的初值條件的形式:

Δu20=y1(cosτ-cos3τ)+y2(cos3τ-cos5τ)+y3(cos5τ-cos7τ).

(17)

將式(7)(8)(9)(13)(14)(17)代入方程組(16),結果展成三角級數后分別設cosτ, cos3τ, cos5τ,cos7τ的系數為零,即可解得未知量y1,y2,y3和 ΔΩ20:

最后,得到校正后的周期和周期解的表達式:

(18)

(19)

2 數值結果及討論

表1所示為近似周期T0,Tp,Tc和精確周期Te的比值,這個比值與振幅A無關.可以清楚地看出,Tc給出了與精確值逼近得很好的近似值.

表1 振子中近似值和精確值的比值

對于A=1,由表達式(3)所表述的數值解ue(t),分別由式(9)(14)(19)求得的近似周期解u0(t),up(t),uc(t),以及上述周期解的絕對誤差均如圖1和圖2所示.由圖中曲線可知,校正后的近似值和數值解逼近得很好.

圖1 A=1情況下解析近似周期解和數值解的對比

圖2 A=1情況下解析近似周期解和數值解絕對誤差的對比

3 結語

本文提出了一個構造非線性偽振子單自由度系統解析近似解的迭代法,該方法由預估-校正技術和諧波平衡法組成.利用預估-校正步驟,對控制方程的線性化只需要做一次.通過這個方法可以得到簡單的代數方程組,而不是沒有解析解的非線性方程組,另外也不需要系統中存在小參數.從結論可以看出,僅應用一步預估-校正步驟即可保證在相當大的振幅范圍內(包含無限振幅的極限情況)得到系統的、顯式的、簡潔的,同時也很精確的解析逼近解.上述結論表明了本文方法用于求解非線性偽振子的有效性.