“線性代數”教學改革的實踐和思考

王軍霞 郭艷鳳

［摘 要］ 從“線性代數”課程的內容特點和教學現狀以及中國地質大學的辦學特色出發，在教學內容方面，除了重視基礎理論以外，提出了加強代數與幾何的聯系、重視應用實例在引入新教學內容時的作用，以及強調矩陣初等變換和向量組理論的重要性等舉措。在教學方法和教學手段方面，從滲透數學思想方法、加強與高等數學的聯系、善于類比和聯系以及積極開展第二課堂等方面進行教學改革，以期增強教學效果，進而提高學生的學習興趣，鍛煉學生解決實際問題的能力，提升學生的數學素養。

［關鍵詞］ 線性代數；教學內容；教學方法和教學手段

［基金項目］ 2020年度中國地質大學（武漢）教改項目“線性代數金課建設”（2020G24）；2022年度高等學校大學數學教學研究中心項目“面向新時代地質創新育人的大學數學課程教學新模式的研究與實踐”（CMC202202預02）

［作者簡介］ 王軍霞（1977—），女，河南南陽人，理學博士，中國地質大學（武漢）數學與物理學院副教授，主要從事有限群表示論研究；郭艷鳳（1976—），女，河南新鄉人，理學博士，中國地質大學（武漢）數學與物理學院教授（通信作者），主要從事偏微分方程理論研究。

［中圖分類號］ G642.0 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1674-9324（2023）27-0017-04 ［收稿日期］ 2022-08-12

“線性代數”課程是理工科乃至某些文科專業的一門重要基礎理論課，具有邏輯嚴密、高度抽象、符號獨特、應用廣泛等特點，其理論知識也是做離散化處理的重要基礎。因此，線性代數理論是學生將來從事各項科學研究所必須具備的數學基礎，其中蘊含的數學思想和理論方法也是理工科學生學習后續課程的基礎。

一、“線性代數”的內容特點與教學現狀

“線性代數”課程的主要內容包括行列式、矩陣、線性方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣與二次型等基本理論知識，其教學內容承前啟后，語言論述嚴謹科學，邏輯推理環環相扣，因此，一些學生學習時感到概念抽象、內容繁雜，學習上存在較大困難。中國地質大學大部分院系把“線性代數”課程開設在大二上學期，由于還沒有接觸過多的專業知識，學生不了解“線性代數”在其專業課程中的作用。如何突破以往“重理論、輕應用，重理論推導、輕數值計算”的傳統教學模式，增強學生學習的積極性與主動性，建立以培養學生對知識的理解、應用、實踐、創新為主的新型教學模式，是我們亟須直面的問題。

二、教學內容的改革

在基礎理論層面，要以基本概念為主，適當忽略一些定理的嚴格證明，補充關于定義與定理的發展歷程，不要讓學生在對定義與定理的內容還處于懵懂狀態時就被它嚴謹的證明過程給搞暈了。在整個教學過程中，注重引導和啟發學生，時刻關注學生的學習感受，有針對性地幫助學生理解和思考。在計算技能方面，有針對性地訓練學生及時抓住重點而不被一些旁枝末節的東西所羈絆。積極為學生創設開放式、探究式的學習情境，鼓勵學生自主學習，從過程中感悟數學的魅力，提升數學素養。

（一）加強幾何與代數的緊密聯系

北京航空航天大學數學與系統科學學院李尚志教授曾用“空間為體，矩陣為用”八個字來概括線性代數的研究對象和方法［1］。線性代數處理的對象是空間和變換，是三維空間上的解析幾何；處理的工具主要是矩陣，是用代數方法研究高維上的幾何問題。

代數和幾何有很多地方相對應，比如：代數上解二元線性方程組對應于幾何上兩條直線的交點、解三元線性方程組對應于平面的交點，向量組線性無關是二維上兩個向量不共線、三維上三個向量不共面在高維上的延伸。

為減少向量空間這一抽象概念給學生帶來的困惑，可以將高等數學向量代數的內容與線性代數相結合，它們之間的結合是空間直角坐標系中三維向量的幾何表示（有向線段）和代數表示（向量的坐標）之間的一一對應。特殊向量e1，e2，e3是空間直角坐標系中三條坐標軸上的正向單位向量，實質是三維向量空間的規范正交基。從三維上的幾何形象過渡到維向量組的線性相關性、極大無關組以及維向量空間的規范正交基，使學生從感受形象思維慢慢過渡到形成抽象思維。同時，加深從低維到高維實質內涵的理解，使其認知維度逐步清晰和系統，教學更加符合認知規律。

（二）借助應用實例，引入教學內容

現有的《線性代數》教材注重理論體系，編排結構緊湊，邏輯性強，強調基本定義、定理及其證明。教師大多是受過嚴格數學訓練的專業教師，教學偏重數學的嚴密性和表述形式的標準性，缺乏趣味性和應用性，易給學生造成“線性代數”課程空洞抽象、枯燥無用的印象。

線性代數中的定義雖然抽象，但都是從實際問題中經過抽象概括得到的，只是限于時間，教師沒辦法把每個定義的發展歷程呈現給學生。所以，對于一些難理解的知識點，教師可以適當介紹定義產生的歷史背景，這種以實際問題為背景給出定義的方式更容易使學生接受。比如矩陣乘法，如果教師直接給出定義，學生會覺得莫名其妙，為什么和加法一樣對應位置上的元素相乘還放在對應位置上？如果我們給出一個生產中的實例，學生就容易理解并快速接受矩陣乘法運算了。矩陣乘法運算不滿足交換律，為什么會出現這樣的情況呢？如果教師從矩陣乘法對前后兩個矩陣的型號有要求出發，列舉幾個不滿足交換律的例子，讓學生真切感受，那么在以后遇到關于數的理論是否可以平移于矩陣時，學生自然會考慮其中是否涉及交換律。

（三）強調矩陣初等變換的作用

矩陣理論是線性代數理論的重要組成部分，初等變換是線性代數的一條計算主線，可以利用初等變換求矩陣的逆、解線性方程組、得出矩陣的秩、求向量組的極大無關組、化簡二次型。所以，只要掌握了初等變換運算，線性代數中的計算就通了，可以極大緩解學生的畏難心理。教師只要在教學活動中緊緊抓住這條主線，就能消除學生在計算上的困擾。

（四）突出向量組的理論，加深向量組與線性方程組、矩陣的聯系

《向量組的線性相關性》這部分內容集中了大量晦澀的定義、定理以及復雜的理論推導，一些學生學習時困難重重。但是這一章內容是向量空間的基礎，掌握不好勢必會影響后續向量空間乃至線性空間和線性變換的學習。

抓住向量組的線性關系中的幾個重要概念，如線性相關、線性無關和線性表示，再和前面的知識融會貫通，只要把向量組依次按列排成矩陣，向量組的問題就變為矩陣問題，即向量組的線性相關性轉化為齊次線性方程組是否有非零解，一個向量能否用一個向量組線性表示就轉化為非齊次線性方程組是否有解，一個向量組能否用另一個向量組線性表示就轉化為矩陣方程是否有解，兩個向量組等價可轉化為兩個矩陣方程是否同時有解，求向量組的秩轉化為求矩陣的秩，求向量組的極大無關組轉化為求矩陣的最高階非零子式等。所以，只要把向量組的問題看成矩陣的問題，再通過線性方程組解的判定定理過渡，所有問題就迎刃而解了。

三、教學方法和手段的改革

（一）滲透數學思想和方法

數學思想是對數學知識和方法的本質認識，是對具體數學概念、規律、方法等認識過程中抽象出來的觀點，具有奠基性、總結性和一般性［2］。數學方法是教學中采用的途徑、方式、策略等，數學思想和數學方法緊密聯系，本質相通。教師在教學活動中要善于剖析和挖掘教學內容，總結數學思想方法。另外，要把思想方法貫穿教學過程，做到在知識傳授的同時滲透數學思想方法，提升數學素養。

要領悟數學思想就要先訓練學生的抽象思維能力和概括總結能力。線性空間和線性變換是線性代數的核心內容，但是由于理論的高度抽象性，學生學起來較為困難。教師可以在總結了三維幾何空間、n維向量空間、同型號矩陣集合、齊次線性方程組的解集等內容之后，引導學生總結提煉這些具體線性空間的共性；接著再多舉一些例子，比如數域上的一元多項式、閉區間上連續函數等，總結出所有具有加法和數乘運算且滿足八條運算規律的對象有很多共性。一般線性空間就是研究所有這些對象的共性，所以線性空間中不再關心元素長什么樣，也不關心加法和數乘運算的具體過程，而是關心它們是否遵循哪八條運算規律，由此還能否推出更進一步的結論。線性代數中最核心、最抽象的思想就這樣順其自然地深入了學生的內心。

（二）加強與高等數學的聯系

從數學的分類來看，高等數學屬于分析范疇，主要研究連續對象的局部性質和整體性質，研究工具主要是極限。線性代數屬于代數范疇，主要研究離散對象的結構性質，矩陣是研究的主要工具。分析和代數在研究對象、思維方式和處理方法上具有很大的差異［3］。

線性代數的特點是概念抽象難理解，計算不復雜但是過程龐大，容易使學生不知道為什么要這樣做或者因為結果不正確而灰心。另外，教師比較注重知識傳授，導致學生不了解理論應用，也認識不到線性代數在后面專業課中的作用。所以學生剛開始學線性代數時較困難，不能把高等數學的知識作為儲備。這時，就需要教師發掘線性代數和高等數學之間的聯系。比如，線性方程組通解的結構理論與線性常微分方程通解的結構理論是一致的，線性代數中的最小二乘解問題，既可以用線性代數的知識來討論，又可以用高等數學中的極值來求解。線性代數中的任何一個矩陣都可以寫成一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣的和，那么對應于高等數學中即任何一個函數均可以寫成一個奇函數和一個偶函數的和，這兩個題目的思想和證明方法是一致的。

（三）善用類比和聯系

類比是一切理解和思維的基礎，有比較才有鑒別。在教學中，要引導學生多做比較，找出知識點之間的區別和聯系，既有利于學生掌握新知識，做到時常鞏固已學知識，又可以指導學生利用已掌握的理論和方法解決新問題［4］。

在“線性代數”教學中，類比方法分兩類：第一類是縱向的同一個知識點之間的類比，如從低階行列式到高階行列式、從低維向量到高維向量等；第二類是橫向的不同知識點之間的類比，如用初等變換、Cramer法則、矩陣逆求解線性方程組三種方法的適用性，矩陣等價、相似與合同三者間的聯系和區別、二次型通過一般可逆線性變換和正交變換化為標準型的不同作用等。

線性代數中有矩陣等價和向量組等價的概念。大部分教材是先講矩陣等價，這樣教師在講兩個向量組等價的定義時就可以和矩陣等價的定義做對比。兩個矩陣等價是通過初等變換實現的，而向量組的等價是相互線性表示，這樣就在無形中強調了向量組中線性運算和矩陣的初等變換運算具有同等重要的地位。但是二者之間也有區別，比如矩陣A和B等價，那么它們一定是兩個同型號矩陣。這兩個矩陣的列向量組是兩個向量個數相等、向量維數相同的向量組。根據矩陣秩等于其列向量組秩知這兩個向量組的秩相等，但是不一定是等價的向量組，但是如果矩陣A只通過初等列變換到B，就可以斷定這兩個矩陣的列向量組等價。反過來，兩個等價的向量組按列排成矩陣不一定是同型矩陣，所以不能談是否等價。如果兩個等價的向量組按列排成矩陣是同型矩陣，那么這兩個矩陣就是等價矩陣。這背后的原因是兩個矩陣等價可以通過初等行變換或列變換相互得到對方，而作為向量組按列排成矩陣，只能對矩陣做初等行變換才做到不改變列向量組之間的線性關系。

（四）積極開展第二課堂

線性代數理論性強，有些章節理論多而且難理解，教師在教授這些內容時往往只講結論和方法，導致學生勉強做題。同時，由于“線性代數”課程符號復雜，教師講解一個行列式的計算或者一個矩陣的初等變換往往要寫滿整個黑板，所以現在教師大多采用多媒體輔助教學，上課播放PPT課件，從而易出現學生上課似乎都聽懂了、下課又都忘記了的現象。因此，有些重要的計算還需要教師在黑板上親自演算。比如，矩陣的乘法過程、對矩陣做初等變換化成行階梯形、行最簡形以及標準型的過程。同濟大學《線性代數》教材上有關于線性方程組解存在性的證明過程中的一句話：“不妨設系數矩陣的行最簡形的左上角是r階單位矩陣”［5］，如果不給出具體例子學生就很難理解，再怎么解釋也不如展示幾種情況更能使學生清晰理解。平時學習期間，教師應及時給學生上傳課件及預習復習資料、推薦延伸閱讀、展示優秀作業等，讓學生的學習延伸到課堂之外，甚至此課程之外，使學生保持持續學習的習慣。

為了讓學生能夠更好地抓住所學重點，我們配備了與之對應的練習冊，供學生在課下完成。習題冊的題目分A、B、C三個層次，由易到難，層次清晰，其中C層次的題目包括部分考研試題，供學有余力的學生思考練習。同時，我們依托網絡平臺，創建交流、答疑QQ群或者微信群，隨時隨地在線討論和解惑釋疑。在課堂之外，及時通過B站進行線上直播，精選直播內容。比如，在講完線性方程組解的理論之后，我們安排了這樣一次復習串講：選取了6種系數矩陣及增廣矩陣，包含線性方程組解的存在性的各類情況。以此把矩陣、線性方程組及向量組的內容串聯起來做一次梳理，以幫助學生構建全面完整的思維導圖。期末考試前，我們進行了兩次典型綜合題選講，供學生復習參考。

在線上直播的間隙，我們還邀請了一些教學名師開展關于數學方法、數學文化和數學應用等方面的專題線下講座，旨在提升學生的數學素養，向學生展示數學在其他領域中的應用。限于學時，我們把每章的典型例題錄制成短視頻，在課前或者課間適時循環播放，以及時解答學生做作業時遇到的困難，保證其學習上的暢通。

在授課期間，我們將三分之一的授課學時用于實驗教學。通過介紹MATLAB軟件中關于線性代數方面的基本操作和運算命令，選擇合適的習題和問題，讓學生通過編程上機操作，體驗解決問題的過程和方法，以鞏固所學理論知識，增強學生解決問題的能力。

實踐證明，開展第二課堂，有效補充了課堂教學的不足，能夠使學生在接受知識的同時，逐步體會到知識背后的思想和精髓，進一步提高學生的學習興趣，增強應用能力。

經過兩年的改革與實踐，根據中國地質大學特色、院系需求和專業特點，通過合理安排教學內容、不斷調整教學方法和教學手段、適時增加實踐教學等方式，我校已將“線性代數”課程建設成湖北省線下一流課程。我們的實踐還在探索中，仍在為早日建成國家級一流課程而努力。

參考文獻

［1］李尚志.線性代數教學改革漫談［J］.教育與現代化，2004（1）：30-33.

［2］馬保國.數學思想方法與數學分析教學［J］.中國大學教學，2006（5）：28-29+39.

［3］高中喜，李厚彪，高建.微積分與線性代數教學的滲透與融合［J］.高等數學研究，2017，20（2）：57-58+63.

［4］楊威，高淑萍，陳懷琛，等.新工科背景下線性代數教學改革與探索：以國家精品在線開放課程《實用大眾線性代數》為例［J］.高教學刊，2020（5）：8-12.

［5］同濟大學數學系.工程數學線性代數［M］.北京：高等教育出版社，2014：72.

Practice and Thought on Teaching Reform of Linear Algebra

WANG Jun-xia， GUO Yan-feng

（School of Mathematics and Physics， China University of Geosciences（Wuhan）， Wuhan，

Hubei 430074， China）

Abstract： Based on the content characteristics and teaching status of the linear algebra course and the university characteristics， as well as the basic theory， it is proposed to strengthen the connection between algebra and geometry， pay attention to the role of application examples in introducing new teaching contents， and emphasize the importance of matrix elementary transformation and vector group theory. In terms of teaching methods and means， this paper expounds that the teaching reform should be carried out from the aspects of infiltrating mathematical thought and methods， strengthening the connection with advanced mathematics， being good at comparison and contact and actively developing the second class to enhance the teaching effect from the aspects of improving students interest in learning， training their ability to solve practical problems， and improving their mathematical literacy.

Key words： Linear Aalgebra; teaching content; teaching methods and means