無偏灰色—BP神經網絡組合模型在變形預測中的應用

李治 張芹

（河南省交通規劃設計研究院股份有限公司，河南 鄭州 450000）

1 引言

目前，變形監測是保證各類建筑物安全運營的重要手段，自鄧聚龍教授提出灰色模型以后，灰色系統理論逐漸發展起來[1]，在變形預測中得到廣泛應用，灰色系統理論具備所需原始數據少、建模簡單等優點，然而當原始數據變化快，不符合明顯的指數規律時，使用傳統灰色模型建模預測會存在固有偏差，針對傳統灰色模型存在的缺陷，可以運用無偏灰色模型，來消除這種固有偏差，得到較高的預測精度。但單一的預測模型很難全面反映事物本質，無法正確預測所需結果。人工神經網絡是一種新型的、功能強大的信息處理高級算法，屬于隱式模型，有自組織自適應能力，具有高度的非線性，一些研究表明該算法可適用于非線性的變形數據[2]。在兩種模型的基礎上建立無偏灰色—BP 神經網絡組合模型。通過理論分析和算例表明，該組合模型有更可靠的預測結果和精度。

2 無偏灰色預測模型及神經網絡預測模型的建立和檢驗

在現實工程中，常用的灰色預測模型[3]通常都是一元一階的預測模型，灰色預測模型的建模原理及過程如下，根據原始數據是否為等間隔序列可將原始序列分為以下兩種情況[4]：

2.1 無偏灰色預測模型建立

建立一階白化微分方程：

建立原始數據序列模型[5-6]：

2.2 模型的精度檢驗[7]

在現代的數據處理中，只有通過檢驗的模型才能用來預測。在現有的灰色預測模型中，精度檢驗主要有殘差檢驗法、關聯度法與后驗差法。殘差檢驗法即絕對或相對誤差檢驗，精度檢驗要求誤差越小越好[8]。本文利用殘差大小檢驗法，對所建立的模型進行精度檢驗。根據原始數據和預測模型計算出的模擬數據從而得到殘差，記為ε（k）：

令相對誤差：

平均相對誤差：

2.3 BP 神經網絡模型

BP[9-10]（Back Propagation）網 絡 是1986 年 由Rumelhart 和McCelland 為首的科學家小組提出的，它是一種按誤差逆傳播算法訓練的多層前饋網絡，是目前應用最廣泛的神經網絡模型之一。BP 神經網絡能學習和存儲大量的輸入-輸出模式映射關系，無需事前揭示描述這種映射關系的數學方程。它的學習規則是使用最速下降法，通過反向傳播來不斷調整網絡的權值和閾值，使網絡的誤差平方和最小。BP 神經網絡模型拓撲結構包括輸入層（input）、隱層（hide layer）和輸出層（output layer）。

BP 神經網絡模型包括輸入輸出模型、作用函數模型、誤差計算模型和自學習模型。

（1）節點輸出模型

隱節點輸出模型：

輸出節點輸出模型：

本文中，f1為sigmoid 函數，f2為線性函數。

（2）作用函數模型

作用函數是反映下層輸入對上層節點刺激脈沖強度的函數，又稱刺激函數，一般取為（0，1）內連續取值Sigmoid 函數：

（3）誤差計算模型

誤差計算模型是反映神經網絡期望輸出與計算輸出之間誤差大小的函數：

（4）自學習模型[11]

神經網絡的學習過程，即連接下層節點和上層節點之間的權重矩陣Wij的設定和誤差修正過程。BP 神經網絡有有師學習方式——需要設定期望值和無師學習方式——只需輸入模式之分。連接權值的修正主要采用梯度下降法，每次連接的權值修正量跟誤差函數的梯度成正比，它從輸入層反向傳遞到各層。各層的連接權值修正量為：

wδ為輸入層與隱含層之間的連接權值，為隱含層與輸出層之間的連接權值；n1，n2，n3分別為輸入層神經元數、隱含層神經元數、輸出層神經元數；Φ 為學習速率；分別為函數的導數；t為樣本輸出值；z為實際輸出值。

3 無偏灰色—BP 神經網絡組合模型建立

目前針對變形數據預測，單單依靠傳統無偏灰色模型或傳統的BP 神經網絡模型進行預測，結果易存在偏差，因此本文提出無偏灰色—BP 神經網絡組合模型，通過運用該模型可以有效過濾系統中的灰色特性，消除灰色系統的固有偏差，同時充分發揮無偏灰色模型和BP 神經網絡模型的各自優勢，通過組合取長補短，使得最后的模型預測更加準確。

無偏GM（1，1）模型針對短期數據預測精度較高，適合初期變形期數較少的預測，BP 神經網絡模型有自主學習和自適應能力，且具有一定的容錯性，但預測精度一般。無偏灰色—BP 神經網絡組合模型減少了它們各自的缺點，結合兩者優勢，既保持無偏GM（1，1）模型短期預測精度高的優點，又突出BP 神經網絡模型適應學習功能、誤差可控等特點，提高預測精度的同時，更適應長期變形預測。

本文針對原始數據建立無偏GM（1，1）模型，進行預測，從而得到一組相對于原始數據的預測數據，將無偏GM（1，1）模型的預測值作為BP 神經網絡模型的輸入樣本，觀測值作為BP 神經網絡模型的輸出樣本，進行網絡訓練，從而得到相對于節點的一系列權值和閥值，最后，將所需的預測值作為網絡神經的輸入樣本，從而得到所需的預測值。組合模型預測步驟如下[12]：

（1）對原始數據建立無偏GM（1，1）模型進行預測；

（2）取無偏灰色GM（1，1）預測序列的第2 列到第n個數據，作為輸入向量P；

（3）取原始數列的第2 列到第n個數據，作為輸出向量T；

（4）通過訓練BP 神經網絡，得到網絡中相對于每一個節點的一系列權值跟閥值；

（5）將無偏GM（1，1）模型預測所需時刻的值作為輸入量，進行測試，從而得到相應的輸出向量，即為所得。

在運用組合模型預測時，為了使收斂效果更明顯，一般采用將輸入量歸一化處理，方法是將各個輸入量歸一到[0，1]，公式如下：

式中max（x）、min（x）為樣本中的最大值與最小值。

4 實例

采用五強溪大壩體30 期的變形監測數據，取前25 期數據作為建模初始樣本，后5 期數據作為模型預測的檢驗樣本，建立無偏灰色—BP 神經網絡組合模型進行沉降預測。先根據建模樣本建立無偏灰色模型，再根據前25 期預測值進行網絡訓練，得到網絡中對應于每個節點的一系列權值與閾值。將由無偏GM（1，1）所預測的最后5 期數據作為網絡神經的輸入樣本，得到相應的輸出量。

4.1 模型的建立

本文中模型的輸入輸出、隱含層節點的確定至關重要，隱含層節點根據公式：

式中M為輸入神經元的個數，N為輸出神經元的個數，q為1～10 之間的常數，根據此來確定，通過反復測試得到隱含層節點數為10，此時收斂速度比較快，網絡誤差也小。把無偏灰色GM（1，1）模型預測的經過歸一化處理，作為輸入量到神經網絡進行訓練、仿真。網絡的訓練函數設置為traingdim，第一層的傳遞函數設置為tansig 函數，第二層的傳遞函數設置為purelin 函數，訓練周期設置為50，初始學習效率為0.05，學習動量為0.9，樣本的期望誤差為0.001。此時收斂的速度比較快，如圖1 只需要1333 次即可完成訓練。

圖1 無偏組合訓練過程

4.2 模型的精度評定

本文采用均方誤差進行模型的精度評定：

本文采用組合模型進行仿真，得到均方誤差0.0049。

4.3 組合模型的預測結果

首先根據前25 期原始數據，通過無偏組合模型進行預測得到預測數據，進行歸一化處理，作為輸入量，進行網絡訓練，再對最后5 期數據進行預測，具體結果如表2 和表3 所示。

表2 25期大壩相對某水平線觀測值

表3 最后5期大壩相對某水平線的預測值

針對最后5 期沉降量，運用灰色模型、無偏灰色模型、組合模型的預測值與觀測值對比，明顯發現組合模型的預測值與實際觀測值更加接近，三種模型對比如圖2 所示。

圖2 不同模型預測樣本與實測值對比

5 結論

基于無偏灰色模型與BP 神經網絡的組合模型的建立，具有較為嚴密的理論基礎，通過在變形預測中的實驗，驗證了該組合模型在變形預測中具有較好的預測精度。與單純運用灰色模型或無偏灰色模型相比，該組合模型既結合了單純運用灰色模型所需樣本少、計算簡單的優點，還具有BP 神經網絡的自組織、自適應能力，能夠更快、更準確地預測，而且對非線性數據的預測有較高的精度，在變形預測中具有廣闊的應用前景。