點位的方差曲面與標準差曲面

孫現申

（鄭州工業應用技術學院 建筑工程學院，河南 鄭州 451150）

在平面測量問題中，點位的精度可用方差曲線或標準差曲線形象表示，對此，文獻[1]進行了比較全面的總結。越來越多的測量問題將在三維空間表示，相應地，點位精度的形象表達應采用方差曲面或標準差曲面。然而，從二維推廣到三維，仍有個別問題有待研究，本文對此進行討論。

1 點位的方差曲面

三維空間中任一點P的點位精度可以表示成協方差矩陣形式

設點P真誤差ΔP在x、y、z坐標軸上的投影分別為Δx、Δy、Δz，不難理解，ΔP在空間任一方向上的投影等于Δx、Δy、Δz在該方向上投影的代數和。現在設的方位角為α（0 ≤α ＜2π）、天頂距（該方向與z軸的夾角）為γ（0 ≤γ≤π），下面討論1O與x、y軸的夾角。

在Rt.ΔOa1 中

所以在Rt.ΔAa1 中，斜邊

在ΔAO1 中應用余弦公式得

當然，σ2（α，γ）也即點在α和γ所確定方向上的位置方差，稱為點在該方向的徑向方差[1]。容易理解，空間點位方差曲面是一個封閉曲面，其圖像如圖2 所示，其中λ1、λ2、λ3為方差曲面σ2（α，γ）的極值，稱為方差曲面的主半徑。

圖2 點位的方差曲面

2 方差曲面的主半徑和主方向

如記單位矢量

則式（5）成為

構造函數

其中λ 為未知聯系數。令

其中I 為單位陣。由式（10）可以看出聯系數λ 是ΣP的特征值，s 是對應特征值的特征向量。對式（9）右乘s，并顧及sTs=1，得

顯然，ΣP的特征值λ 和特征向量s 即方差曲面σ2(α，γ)=sTΣPs 的極值和極值方向，稱方差曲面的主半徑和主方向。

解ΣP的特征方程det（λI -ΣP）=0，其中det（·）為求行列式算子，即

一元三次方程式（13）有三個根，記為λ1、λ2、λ3。依韋達（F.Viète）定理

可作為計算結果的正確性檢核。并且，因λ1、λ2、λ3為徑向方差，為非負實數，故上三式均不能小于0。令

x=g 是曲線f (x)=x3+bx2+cx+d 的拐點，同樣，在這里g 也不能小于0；k 為拐點處切線的斜率。因方程（13）只有非負實根，故判別式Δ ≤0。

當Δ=0 時，k ≤0，有

若q=0，則

方差曲面為球表面。

當Δ ＜0 時，則k ＜0，計算

下面討論λi（i=1,2,3）的方向，即主方向的確定方法。將求得的特征值λi（i=1,2,3）代入式（10），并展開

式（33）包含3 個方程，可以改寫為

有2 解，可限定0°≤αi≤180°使解唯一。解出αi后，可由式（34）求γi（0°≤γi≤180°）。由αi、γi可確定λi的方向向量，如式（6）所示，即

將式（35）的分母、分子指定為cos ＇βi、cos＇ηi，并代入式（33）得到cos ＇γi，再將cos ＇βi、cos＇ηi、cos ＇γi單位化就可得到cosβi、cosηi、cosγi。對此，文獻[5]給出了部分結果。

由圖2 可以看出，主半徑及其方向決定了曲面的形狀、大小和姿態，因此，在描述空間點位精度時，也可以只繪出主半徑，不妨稱之為方差十字架，如圖3 示意。

圖3 點位的方差十字架

在測量中，ΣP是一個半正定矩陣，因此，方差曲面有以下性質：

①主半徑為非負實數；

證：由半正定矩陣的定義，對任意向量t ≠0，都有tTΣPt ≥0。取t 為特征向量s，且sTs=1，則由式（11）知λ ≥0。

② 不同主值所對應的主方向相互正交；③主方向之間協方差為0，即主方向之間統計不相關。

3 方差曲面算例

設點位的協方差矩陣

則主半徑計算：

det(ΣP)=1.5255063mm3，tr(ΣP)=5.41764mm2b=-5.41764mm2，c=7.8035269mm4，d=-1.5255063mm6k=-1.9800809mm4，g=1.80588mm2，q=0.78804582mm6Δ=-0.13227717mm12，r=0.53621938mm6，θ=137.29172°λ1=2.939396mm2，λ2=0.230937mm2，λ3=2.247307mm2檢核：

主方向計算：

4 方差曲面圍成的體積

使坐標系的三個坐標軸與方差曲面的三個主方向重合，則方差曲面可表示為

或表示成直角坐標方程

現在，由式（38）計算方差曲面圍成的體積

考慮幾個特例：

①當λ1=λ2=λ3時，方差曲面變成了球面

② 當λ1＞0，λ2=λ3=0 時，方差曲面形成相切的兩個形體，體積為

③當λ1＞0，λ2＞0，λ3=0 時，方差曲面圍成的體積為

另外，若將赫爾默特（F.R.Helmert）定義的點位方差推廣到三維

也將韋克邁斯特（P.Werkmeister）定義的點位方差推廣到三維

在平面測量中，點位方差、點位標準差與方差曲線、標準差曲線圍成的面積之間存在簡單的關系式[1]，但在空間測量中，點位方差、點位標準差與方差曲面、標準差曲面圍成的體積之間的關系并不直接、簡單。

5 標準差曲面

根據定義，只需將式（5）開平方就可得到空間點位的標準差曲面σ（α，γ）。σ（α，γ）當然是點在α 和γ所確定方向上的位置標準差，稱為點在該方向的徑向標準差[1]。

標準差曲面σ（α，γ）與方差曲面σ2（α，γ）的圖形（圖2）相似，體量較小。σ（α，γ）的主半徑為和主方向分別與λ1、λ2和λ3的方向相同。σ（α，γ）可以用標準差十字架表示。

當三個坐標軸與方差曲面的三個主方向重合時，標準差曲面方程為

或表示成直角坐標方程

標準差曲面圍成的體積為

該積分比較復雜，結果表達式不易得到。假設它與式（40）具有類似的形式，可得近似式

考慮幾個特例：

①當λ1=λ2=λ3時，標準差曲面變成了球面

② 當λ1＞0，λ2=λ3=0 時，標準差曲面變成為在原點相切的兩個球，體積為

③當λ1=λ2＞0，λ3=0 時，方差曲面圍成的體積為

另外，赫爾默特點位標準差和韋克邁斯特點位標準差與標準差曲面圍成體積之間也無簡單關系式。

6 結束語

從二維表達到三維表達，是測量工程的一個發展趨勢。相應地，點位精度描述也應從方差曲線和標準差曲線發展到方差曲面和標準差曲面。

從二維到三維，有些推廣是簡捷的，如點位方差、徑向方差的含義、方差十字（架）的表示、方差曲面的數學性質等，有些推廣需經一定的研究，如徑向真誤差與坐標真誤差的關系、方差曲面主半徑、主方向的解算、方差曲面圍成體積的計算等。本文對此進行了討論，可供教學與生產參考。