單層圓筒形銅制承壓設備靜強度概率分布

楊 帆* 華 濱 陳 帆 陳 剛 劉 兵 張紅衛 劉小寧

（武漢軟件工程職業學院 機械工程學院）

0 引言

單層圓筒形銅制承壓設備(管道)的靜強度可分為兩種三大類，兩種是指靜強度包括屈服壓力與爆破壓力；三大類是指靜強度的實測值，或考慮有關因素隨機性，通過公式得到靜強度的預測值，或不考慮有關因素隨機性，用公式得到靜強度的名義值。單層圓筒形銅制承壓設備的工作介質往往是具有一定壓力的液體或氣體，為了保證其靜強度的安全，常常采用有關標準來規范其設計、制造與檢驗過程[1-2]。

在常規設計方法中，將影響承壓設備靜強度的因素視為確定量，采用中徑公式設計其靜強度。由于銅材力學性能、承壓設備的幾何尺寸等影響靜強度的因素往往是隨機變量，綜合考慮這些因素的不確定性，建立單層圓筒形銅制承壓設備靜強度的可靠性設計方法[3]，研究單層圓筒形銅制承壓設備的靜強度概率分布，是建立其可靠性設計方法的重要基礎工作。

文中以長度與直徑之比較大的單層圓筒形銅制承壓設備靜強度為研究對象[4]，將實測靜強度與中徑公式名義值之比作為隨機變量，應用概率論和數理統計知識[5-6]，基于文獻[7-8]對單層圓筒形鋼制承壓設備靜強度概率分布進行探索，研究了單層圓筒形銅制承壓設備的靜強度分布規律與分布參數，并對實測靜強度的下限進行了探討。

1 理論模型

1.1 兩個正態分布隨機變量之積的概率分布

假設x，y分別為符合正態分布的隨機變量，其均值分別為μx與μy，標準差分別為σx與σy，變異系數分別為Cx與Cy。

若z為x與y之積，即：

則隨機變量z符合正態分布，并且均值μz、標準差σz與變異系數Cz分別為：

由概率論和數理統計知識可知，隨機變量的分布規律與參數應從無數試驗數據中統計得到，而工程界只能構建具有統計性質的隨機變量，通過具有有效性與同質性的有限試驗數據[9-10]，在一定顯著度時分析隨機變量的分布規律，在一定雙側置信度時，討論隨機變量分布參數的區間值[11-12]。

1.2 構建兩個具有統計性質的隨機變量

我國標準采用有關公式預測承壓設備的靜強度，并進行靜強度設計，可建立以下等式：

式中：pr——承壓設備靜強度的實測值，MPa；

ur——將有關因素視為確定量時，計算得到的承壓設備靜強度的名義值，MPa。

令式（5）中：

由式（6）可以得到：

1.3 隨機變量zr的分布規律與分布參數

根據統計數據，假設在顯著度為δ時（通常取0.05）通過假設檢驗的方法證明xr與yr是基本符合正態分布的隨機變量，在雙側置信度為（1-α）（通常取α=0.02）時，得到xr與yr分布參數的取值區間。對于符合正態分布的隨機變量，其分布參數包括均值、標準差與變異系數，記xr與yr的均值、標準差和變異系數分別為μxr與μyr，σxr與σyr和Cxr與Cyr，則在雙側置信度為（1-α）時的取值區間分別為：

在式（8）與式（9）中，上標l與u分別表示參數在雙側置信度為（1-α）時的下限與上限。

在雙側置信度為（1-α）時，將式（8）與式（9）代入式（2）～式（4），可得到符合正態分布隨機變量zr的均值μr，標準差σr和變異系數Cr取值區間分別為：

其中：

2 基于中徑公式的靜強度概率分布

2.1 計算靜強度的中徑公式

單層圓筒形銅制或者鋼制承壓設備靜強度的計算公式比較多[13]，我國標準將影響靜強度的因素視為確定值，采用中徑公式計算其靜強度名義值[14]：

式中：ur——單層圓筒形銅制承壓設備靜強度的名義值，MPa；

K——單層圓筒形銅制承壓設備徑比的名義值，K=Do/Di；

Di——設備的內直徑名義值，mm；

Do——設備外直徑的名義值，Do=Di+t，mm；

t——設備壁厚的名義值，mm；

Rr——設備材料力學性能的名義值，當下標分別取p與m時，Rr分別為材料屈服強度Rp的名義值與抗拉強度Rm的名義值，mm；

式（11）的應用范圍為設備的設計壓力不超過35 MPa，當抗拉安全系數取3 時[1]，即等同于設備與管道的實測爆破壓力不超過105 MPa （3×35 MPa），或者容器徑比的名義值K≤1.50。

為保證單層圓筒形銅制承壓設備的制造質量，我國采用有關標準限制靜強度影響因素的制造誤差，將其控制在允許范圍。當考慮靜強度影響因素的隨機性時，采用中徑公式得到的靜強度預測值為：

2.1.1 隨機變量xr的概率分布

對于采用我國標準設計、制造與檢驗的單層圓筒形銅制承壓設備，隨機變量xr可描述其靜強度實測值與設計公式預測值之比的概率分布。

對于單層圓筒形銅制和鋼制承壓設備，基于63組爆破壓力實測值與中徑公式名義值之比的研究[8]，發現在顯著度δ= 0.05 時，xr為基本符合正態分布的隨機變量，在雙側置信度為98%時，xr分布參數的取值區間為：

由于屈服壓力產生的機理也是材料變形，因此可認為，式（13）的參數同樣適用于單層圓筒形銅制和鋼制承壓設備與管道屈服壓力預測或者計算。

2.1.2 隨機變量yr的概率分布

當單層圓筒形銅制承壓設備是按我國標準設計、制造與檢驗時，隨機變量yr描述了其靜強度的公式預測值與公式名義值之比，反映了我國標準的科技發展水平及新成果在工程中的應用。

根據數理統計理論與概率論方法[5-6]，隨機變量yr符合正態分布，其均值為：

標準差的計算公式為[15]：

式中：σyr——yr的標準差，與靜強度的種類有關；

σδ，σφ，σDi，σRr——分別為圓筒壁厚、焊接接頭系數、圓筒內直徑、材料機械性能常數的標準差；

Cδ，CDi，Cφ，CRr——分別為壁厚、內直徑、焊接接頭系數、材料機械性能常數的變異系數，CRr與靜強度的種類有關。

由于CRr和σyr都與靜強度的種類有關，因此，當靜強度為爆破壓力時，CRr取材料抗拉強度的變異系數CRm，與yr對應的標準差為σym；當靜強度為屈服壓力時，CRr取材料屈服強度的變異系數CRp，與yr對應的標準差為σyp。分析表明[15]，Cδ=0.041 67，CDi=0.005，Cφ=0.033 33，1.0＜k≤1.50，由式（15）得：

根據我國科技發展的水平，鋼材抗拉強度與屈服強度的變異系數分別可取0.05 與0.07[3]；基于對TP2銅材力學性能研究[16]，建議取其抗拉強度與屈服強度的變異系數CRm與CRp分別為：

將式（17）代入式（16）得到yr標準差的取值范圍：

2.2 靜強度的概率分布

2.2.1 爆破壓力的概率分布

當用中徑公式計算爆破壓力的預測值或者名義值時，xr與yr用xm與ym表示，xm與ym都是基本符合正態分布的隨機變量，zr用zm表示，根據式（7）與式（1），zm與z都是基本符合正態分布的隨機變量。

基于計算爆破壓力預測值或者名義值，在雙側置信度為98%時，將式（13）、式（14）與式（18）數據代入式（10），得到zm分布參數的取值區間為：

根據式（5）與式（6），爆破壓力實測值為：

從工程應用的角度，必須對實測爆破壓力下限進行嚴格控制，以保證設備安全。由于zm基本符合正態分布，從偏于保守角度，由概率論中隨機變量正態分布知識可知，當單側可靠度為99.865%時，實測爆破壓力下限區間為：

將式（21）數據代入式（22），得：

2.2.2 屈服壓力的概率分布

當用中徑公式計算屈服壓力預測值或者名義值時，隨機變量xr與yr用xp與yp表示，xp與yp基本符合正態分布；zr用zp表示，根據式（7）與式（1），zp也是基本符合正態分布的隨機變量。

基于計算屈服壓力預測值或者名義值，在雙側置信度為98%時，將式（13）、式（14）與式（19）數據代入式（10），得到zp分布參數的取值區間為：

采用建立式（24）的方法，得實測屈服壓力下限位于區間：

并將式（26）數據代入式（27）中，得到：

由概率論知識可知，從偏于保守角度，實測屈服壓力下限滿足式（26）的可靠度也為99.865%。

3 應用驗證

為建立單層圓筒形銅制承壓設備靜強度的可靠性設計方法，必須應用有關實測數據對靜強度的概率分布進行驗證。參考文獻[17-19]提供了32 組外直徑名義值為7.00 ～ 12.70 mm的TP2銅管爆破壓力實測值，可在可靠度為99.865%時，應用其對式（23）進行驗證。現將有關物理量的名義值、爆破壓力實測值及其預測區間一并列入表1。

表1 TP2銅管實測爆破壓力及下限預測

由表1 可知，32 組銅管爆破壓力實測值均大于其下限位于區間內，表明式（23）可靠。

式（26）的可靠性已在參考文獻[20]中得到驗證。

4 結論

應用概率論與數理統計方法，將單層圓筒形銅制承壓設備實測靜強度與中徑公式得到的名義值之比視為隨機變量，研究了單層圓筒形銅制承壓設備實測爆破壓力與屈服壓力的概率分布，探索了承壓設備實測爆破壓力下限的取值，得到以下結論。

（1）單層圓筒形銅制承壓設備的實測靜強度與中徑公式得到的名義值與之比，在顯著度為0.05 時是基本符合正態分布的隨機變量。

（2）對于實測爆破壓力與中徑公式得到的名義值與之比的隨機變量，在雙側置信度為98%時，其均值不小于0.966 6 且不大于0.997 0，標準差不小于0.077 90且不大于0.097 90，變異系數不小于0.078 13且不大于0.101 3。

（3）對于實測屈服壓力與中徑公式得到的名義值與之比的隨機變量，在雙側置信度為98%時，其均值不小于0.966 6 且不大于0.997 0，標準差不小于0.114 6 且不大于0.130 5，變異系數不小于0.114 9 且不大于0.135 1。

（4）經32 組實測數據證明，單層圓筒形銅制承壓設備實測爆破壓力與中徑公式名義值與之比不小于0.672 9 的可靠度為99.865%。