建構從“說理”到“推理”的數學課堂

張海生

【摘要】數學說理，是發展小學生推理能力的應然之路，建構小學數學說理課堂是當代一線教師研究的新領域.文章以五年級上冊第六單元“組合圖形的面積”為例，提出了建構從說理走向推理的數學課堂的途徑：問題引領、活動篤行、習題明辨，讓學生擁有自主的推理空間，建構自己能接受的推理方法，尤其在思考、探索、推理的過程中促進推理能力的發展.

【關鍵詞】小學數學；說理；推理；數學課堂

“雙減”背景下，建構“提質增效”的數學課堂是當今一線數學教育工作者迫在眉睫且又不可回避的重任.筆者研析“雙減”政策發現，“雙減”減的是學生過重的負擔，增的是學生的學科素養；減的是教師的喋喋不休、題海卷山，增的是學生的幸福指數，而數學說理是一種運用數學語言進行邏輯表達的過程，該過程對小學生數學思維能力的發展有著深遠且直觀的影響，因而建構小學數學說理課堂，既能滿足落實“減負不減質”的要求，又能夠促成小學生推理能力發展的落“堂”生根.

一、問題引領，留足推理空間

諸多研究表明，說理區別于傳統課堂上的簡單問答，教師要立足學生知識認知與實際操作的發展水平，致力于學生獨立思考分析、合作討論判斷，讓學生在思考、分析、討論的過程中進行合理的判斷，進而得出結論.減負的初衷是減輕作業負擔，讓學生朝著德、智、體、美、勞全面發展，課堂提問為引導學生自主探索、促成學生深度思考而提出，讓學生思維從“低階”發展為“高階”，這與數學說理課堂的目標不謀而合.因而在小學數學說理課堂上，教師要以教學內容、學生學情需求、學生思維特征為依據設置進階式問題串，以問題驅動學生積極思考、深入探究，尤其為學生的“探”與“思”留足空間，使學生歷經觀察、判斷、驗證等活動，展示自我的個性化思維，為每名學生推理能力的發展提供腳手架.

例如，在教學“求組合圖形面積”時，教師可以通過環環相扣的問題串，驅動學生觀察組合圖形，從組合圖形的特征入手通過輔助線將組合圖形分解為已學的基本圖形，如三角形、長方形、平行四邊形等.

估一估：如圖1，觀察“山”字圖，估算“山”圖的面積約為多少？

想一想：“山”圖內是否含有學過的基本圖形，如三角形、長方形等.

畫一畫：用輔助線，將組合圖形轉化為基本圖形.

算一算：結合自己的思考過程，計算“山”圖的面積.

上述四個問題，既提供了推理能力培養的前提與條件———認知疑惑，又指明了符合學生邏輯思維需求的探索方向，留出充足的自主推理的空間，很大程度上確保數學說理課堂的效果.具體為：“估一估”，學生直觀地看到“山”圖與之前學過基本圖形之間的“異”，讓學生直觀地認識到“山”圖面積可以轉化為三角形面積，產生探索“山”圖與三角形之間關聯性的欲望；“想一想”，肯定了學生的直觀判斷———轉化，同時明確將組合圖形分解為常見基本圖形的轉化基礎方向；“畫一畫”，鼓勵學生動手操作，通過多元化途徑獲取信息、尋找證據，進行有理有據的推理，讓學生“有話說”且有理有據地“說”，同時加強學生之間的交流探討，引領學生再度審視自己獨立思考所得，進行適切的重構、抉擇；“算一算”，引領學生自覺地以圖中的15米、13米、8.5米及4米為依據進行分析，且有意識地關聯之前學過的梯形面積S=（a+b）×h÷2、三角形面積S=a×h÷2、長方形面積S=a×b等，進而將組合圖形轉化為基本圖形進行計算.這樣的過程中，既能夠讓學生“看”到求“組合圖形的面積”方法的多樣性、其他同學身上的“閃光點”和差異性，又能夠促使學生形成獲取、處理信息的能力，使學生進行有理有據的判斷、驗證、批判，為推理能力培養、發展提供基礎.

二、活動篤行，建構推理方法

在數學教學中，教師可以結合小學生“愛玩”“愛動”“感性決定理性”等特征，并在明確“說理”“推理”“思維”三者之間關聯的基礎上，有意識地組織、開展、挖掘、利用“說理”活動，讓推理能力浸潤“說理”活動，使學生體會到推理的作用與價值.在說理課堂上，教師依據推理能力的本質———有理有據的思考，有條不紊地表達組織開展課堂活動，讓思維從“不可視”轉為“可視”，語言從“粗略”轉向為“精準”，最終使學生建構自己能接受的推理方法.如，“組合圖形的面積”的說理課堂上，教師圍繞“思維，如何可視？”“語言，何以精準？”這核心問題，組織開展了“算法爭霸賽”.該爭霸賽分為“用線分圖”與“以理服人”兩部分，具體如下：

（一）用線分圖———畫輔助線，將組合圖形分為基本圖形

這里提到的“用線分圖”是一種以學生為主體的實踐活動，從本質上來講，它也是較為復雜的認知活動.該活動就是“說理”課堂上常見的“直觀”說理，意在讓思維從“不可視”轉化為“可視”.活動中，教師提出“用輔助線將‘山圖形轉化為基本圖形，哪位同學知道如何畫？”這一問題，讓學生畫出自己能想到的所有分解方法，利用“所有”二字，引導學生多維度分析、設想、驗證，助力學生打破思維定式，使學生親身體會到求“組合圖形的面積”方法的多樣性，明確求“組合圖形的面積”的關鍵———將組合圖形拆分為基本圖形.接著，教師可利用多媒體技術展示“山”圖形的拆分類型，讓學生有意識地聯系動手操作的過程，通過適切的輔助線，將自己腦海深處的想法“顯現”出來，讓獨立思考的過程從“不可視”轉化為“可視”，一方面讓學生直觀地看到陌生的組合圖形轉變為熟悉的基本圖形，滿足小學階段學生思維發展特性的同時，也能夠減少學生抽象理解的困難，另一方面由于組合圖形“變身”過程是由學生主導的，他們歷經分析、思考、批判、再次建構等過程，加強了對知識的理解內化.

（二）以理服人———自由擇法，說一說想法的思維過程

這里提到的“以理服人”，可以視為日常數學課堂的互動交流環節，它作為“說理”活動的重要組成部分，旨在讓學生在“交流”說理的過程中學會用有理、有據、有邏輯的語言表達自己的推理過程，一定程度上強化推理的邏輯性.活動中，教師提出“計算‘山圖形的面積，你會選用何種方法？說一說想法.”這一問題，驅動學生的思考方向從“如何做”轉向為“為何做”“何以做”，同時點撥學生盡可能利用語文學科中掌握的關聯性詞語：如果……那么……、只要……就……、因為……所以……等，使學生在交流、探索中找到語言表達的努力方向———有理有據、有條不紊.接著，教師可讓學生就自我選定的算法，說一說心中的想法，具體為：

學生A：我選擇用（8.5+15）×13÷2-8.5×4÷2計算.想法就是只要先把梯形添補完整（如圖①），再去掉空白的三角形就是“山”圖形的面積；

學生B：我選用8.5×13÷2-8.5×4÷2+15×13÷2計算.如果將“山”圖形分成三個三角形（如圖②），那么“山”圖形的面積可以用8.5×13÷2-8.5×4÷2+15×13÷2來計算.

學生C：我選用8.5×13-8.5×4÷2+（15-8.5）×13÷2計算.如果將“山”圖形分成左為平行四邊形、右為三角形（如圖③），那么“山”圖形的面積可以用“平行四邊形-空白三角形+右邊三角形”計算.

學生D：我選用8.5×13-8.5×4÷2+（15-8.5）×13÷2計算.因為該方法是長方形的面積計算公式，所以把“山”圖形添補為梯形后，從梯形短邊的兩頂點做垂線，建構一個長方形，再將左、右兩邊的三角形割補形成一個底邊為（15-8.5）、高為13的三角形（如圖④）.

學生E：我選用15×13-8.5×4÷2-（15-8.5）×13÷2計算.想法就是只要將“山”圖形添補成長為15，高為13的平行四邊形（如圖⑤），在依次剪去空白的兩個三角形的面積，就是“山”圖形的面積.

通過上述解讀，學生掌握了求“組合圖形的面積”的重要方法———分割、添補，不知不覺地提高了用文字語言精準表達推理過程的能力.“交流”說理中，教師立足小學生的邏輯思維習慣，引領學生從“這是怎么想的”走向“為何可以這樣想”，彰顯出猜想與驗證的求證環節，使學生逐步建構自己能接受的數學推理方式.

三、習題明辨，發展推理能力

習題的主要功能體現在檢查學情、鞏固知識、拓展應用、診斷學情四個方面，而諸多研究表明，其也是讓學生學會獨立思考、獨立判斷的載體，尤其在“雙減”政策下，教師理當杜絕“題海卷山”，為學生提供自由成長的“內驅力”———推理能力.在說理課堂上，教師要貫徹“減負增質”“因材設題”“培優補差”的理念，針對生生之間的差異性進行新知學習之后的深度思考與批判重構，讓推理能力切實發展.如在“組合圖形的面積”的說理課堂上，教師圍繞“如何累積推理經驗？”“何以融通推理方法”，設置了“鞏固基礎”與“拓展訓練”兩大類型的習題，具體如下：

（一）鞏固基礎———舉一反三，累積推理經驗

教材內“練一練”第1道題的第（1）小題“估一估，這面中隊旗的面積大約有多大？與同伴交流你的想法.”有助于強化學生對新知識的認知與掌握，但卻因推理空間不足、推理方法的單一，導致學生的思維趨向于定式，更不利于學生推理能力的發展.為此，課堂上教師呈現出的習題則是由“一面中隊隊旗的面積是多少？”改編而來，具體為：

2022年是中國少年先鋒隊建隊73周年，學校舉辦實踐活動———“做中隊隊旗”.五（1）班準備做的中隊隊旗（圖3），負責采購紅布的小美、亮亮、北極、萱萱和博藝分別用自己數學推理方式，計算了中隊隊旗所需的紅布面積.如果你是隊旗制作的總負責人，你認為他們五人的方法正確嗎？請說明理由.

小美的方法：80×60-60×20÷2

亮亮的方法：（80+60）×30÷2+（80+60）×30÷2

北極的方法：60×60+30×20÷2+30×20÷2

萱萱的方法：60×60+30×20

博藝的方法：60×30+30×20÷2+60×30+30×20÷2

通過上述“鞏固基礎”習題，讓學生在不知不覺中內化了“組合圖形的面積”計算的重要策略———分割求和、添補求差，同時看到“組合圖形”與“基本圖形”之間的關聯，感悟同類事物的各種特殊情形之中蘊含的“同一性”與“相似性”，明白從特殊到一般的推理過程，實現歸納推理能力的提高與發展.

（二）變式練習———按需選擇，融通推理方法

完成“鞏固基礎”習題后，教師并未停止“探”“思”之步，而是通過“選做題”，巧妙地將“生活”與“數學”結合起來，為學生提供推理訓練的平臺.這里提到的“選做題”通常是以“鞏固基礎”習題改編、創編而來，旨在“變”中養成“觀察———猜測———驗證”的推理習慣.為此，課堂上教師利用多媒體技術展示了“變式練習”的兩道題目，即：

變式一：畫一畫小美、亮亮、北極、萱萱和博藝五名同學的想法，并說一說推理的過程.

變式二：兩個相同的直角三角形（兩條直角邊分別8，6）重疊在一起（圖4），求圖中陰影部分的面積？并說一說你的想法.

“變式一”與“變式二”并不做硬性要求，而是讓學生結合自身需求進行自主選擇.通過“變式一”與“變式二”，即能夠拓展學生思維的深度與廣度，促使學生養成良好的思維習慣，又能夠強化學生對“轉化”本質的認識，將復雜轉變為簡單、將未知轉化為已知，實現演繹推理能力的提高與發展.

學習，從本質上來說，就是解決問題的過程，但在“雙減”政策下，該過程不能再是傳統“兜售式”課堂上的“師來問，生來答”“問的淺，張口答”，這就需要教師據“疑”設“問”，從傳統的“被動提問”“照搬教材”“閉門造車”，走向新形勢下的“自主提問”“謹慎思考”“探討交流”.因而以發展推理能力為目標的小學數學說理課堂上，教師理應站在學生的視角與立場，引領學生歷經審視、關聯、猜想、驗證，促使學生“思”“探”“交流”的過程中自主推理、掌握推理方法、發展推理能力，真切地培養小學生的說理能力、發展小學生的推理能力.

【參考文獻】

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[3]趙煒.讓“說理”成為數學課堂的主旋律[J].數學教學通訊，2022（01）：35-36.