導數解答題中數列不等式的證明思路策略

張國飛

(安徽省桐城中學,安徽 桐城 231400)

1 抓住常用思路,進行逐項比較

2 融合可選思路,利用數列單調(性)

例2設函數f(x)=(x-1)2+blnx,其中b為常數.

(1)判斷函數f(x)在定義域上的單調性;

①當b≤0時,x1≤0舍去,而x2≥1,此時f′(x),f(x)隨x在定義域上的變化情況如下表:

表1 函數單調性與導數關系

點評這里利用數列的單調性來證明相關的數列不等式成立時,其證明過程與逐項比較寫的過程有點差異,但本質上兩種方法之間有著異曲同工之妙.注意證明數列的單調性時,往往要回歸題目前面部分所涉及的函數不等式問題,合理應用.

3 借助性質思路,合理放縮處理

例3已知函數f(x)=x-mlnx-1(m∈R)在x=1處取得極值A.

(1)求出實數m的值,并判斷A是函數f(x)的最大值還是最小值;

點評在解決導數解答題中數列不等式的證明問題時,往往要先從前面小題的過程或結論中選取合適的函數不等式加以應用,這非常考驗考生的觀察能力.而在對數列不等式進行累加求和處理后,合理的放縮是正確證明的關鍵,要注意觀察所要證明的數列不等式的結構特征加以巧妙放縮處理.

在解決導數解答題中數列不等式的證明時,除了以上三種基本的證明思路策略,還可以借助推理與證明思維進一步加以綜合與應用,利用可行的思路方法與技巧策略來剖析,有時在證明數列不等式時還可以多種證明思路策略聯合應用,實現問題的綜合應用與巧妙解決[4].