借助類比思維 破解數(shù)學(xué)解題困境

葉長(zhǎng)春

(福建省永泰縣第一中學(xué),福建 福州 350700)

類比思維是指對(duì)比兩個(gè)具有相似特征的事物,從某個(gè)已知事物中提取特征,并將該特征應(yīng)用到另一事物推測(cè)中的思維活動(dòng).其本質(zhì)是事物規(guī)律的遷移與應(yīng)用.在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用類比思維的優(yōu)勢(shì)在于能降低學(xué)生思維難度,幫助學(xué)生迅速掌握某種規(guī)律與方法,突破各種題型的解題困境.

1 破解數(shù)列解題困境

數(shù)列習(xí)題的類型多變,解題方式靈活,只有找準(zhǔn)解題方法才能迅速解題.但從實(shí)際來(lái)看,大部分學(xué)生并不具備這種能力.尤其是無(wú)法通過(guò)數(shù)列題型,聯(lián)想到倒序相加、消元等比較靈活的數(shù)列求解方式.所以,教師要啟發(fā)學(xué)生,引導(dǎo)學(xué)生探索掌握并遷移規(guī)律.

例1 已知數(shù)列{an}中,滿足a1=2,an+1=an+cn(c為常數(shù),n=1,2,3…),且a1,a2,a3是公比不為1的等比數(shù)列.

(1)求c的值;

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析因?yàn)閍n+1=an+cn,所以得出an+1-an=cn,可以類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方式.對(duì)于公差為d的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式可以利用迭加法求解,即:當(dāng)n≥2時(shí),an-an-1=d,an-1-an-2=d,…,a3-a2=d,a2-a1=d,通過(guò)逐個(gè)相加可以得到:an=a1+(n-1)d.

(1)因?yàn)閍1=2,所以a2=2+c,a3=2+3c,因?yàn)閍1,a2,a3是等比數(shù)列,所以(2+c)2=2(2+3c),求解得出c=0或c=2.當(dāng)c=0時(shí),a1,a2,a3相等,不符合題意,舍去.當(dāng)c=2時(shí),a1=2,a2=4,a3=8,符合題意,所以c=2.

2 破解圓錐曲線解題困境

圓錐曲線包括橢圓、雙曲線、拋物線.雖然三種曲線形式表現(xiàn)不同,但是三者存在一定的共同點(diǎn).比如具有類似的解析方程式、參數(shù)與性質(zhì)等.從學(xué)生解題現(xiàn)狀來(lái)看,大部分學(xué)生經(jīng)常混淆相似的基礎(chǔ)知識(shí),且不懂得如何遷移與應(yīng)用知識(shí)背后的數(shù)學(xué)規(guī)律,只能做到“依葫蘆畫(huà)瓢”,遇到新題目時(shí)仍然無(wú)從下手.所以,教師應(yīng)當(dāng)在解題教學(xué)中滲透類比思維,引導(dǎo)學(xué)生抓住知識(shí)本質(zhì),進(jìn)行數(shù)學(xué)規(guī)律的遷移,提升學(xué)生的類比思維能力.

(1)過(guò)橢圓C右焦點(diǎn)作一條垂直于x軸的垂軸弦MN,求MN的長(zhǎng)度.

(2)如圖1所示,若點(diǎn)P是橢圓C上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn),MN是橢圓C的短軸.直線MP、NP分別交x軸于點(diǎn)E(xE,0)和點(diǎn)F(xF,0),求xE·xF的值.

圖1 橢圓C示意圖

解析(1)|MN|=1(過(guò)程略).

3 破解立體幾何解題困境

立體幾何是高考常見(jiàn)的知識(shí)點(diǎn)之一,其題型復(fù)雜、難度較高.部分學(xué)生會(huì)放棄立體幾何綜合題,導(dǎo)致成績(jī)不理想;還有部分學(xué)生只能完成綜合題中比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題,而放棄難度較大的問(wèn)題.針對(duì)這種情況,教師應(yīng)積極改進(jìn)解題方法,盡可能地發(fā)散學(xué)生思維,避免學(xué)生困于某個(gè)錯(cuò)誤解題思路、某條錯(cuò)誤輔助線的應(yīng)用中,導(dǎo)致解題無(wú)法完成.

圖2 棱錐內(nèi)切球體積示意圖

圖3 三角形內(nèi)切圓面積示意圖

圖4 三角形示意圖

結(jié)合解題過(guò)程,類比三角形內(nèi)切圓面積、棱錐內(nèi)切球體積的解題思想不難發(fā)現(xiàn),兩者擁有共同的解題思想即切割思想.將不易求解面積或體積切割成易求解的多個(gè)面積或體積.而且求解棱錐內(nèi)切球體積所用的體積公式、面積公式均為學(xué)生熟悉的公式.可見(jiàn),三角形內(nèi)切圓面積求解思路為棱錐內(nèi)切球體積求解指明了方向.

通過(guò)上述幾道例題的持續(xù)類比、推導(dǎo),學(xué)生很快形成類比思維,而且也能鞏固記憶.通過(guò)上述類比推理推導(dǎo)出來(lái)的各種公式,再求解相似的立體幾何題目時(shí)會(huì)迅速確定解題思路,找到解題方法,從而突破以往思維困境,保證解題的順利進(jìn)行[2].

總之,類比思想是一種不可忽視的數(shù)學(xué)思想,其在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用非常廣泛.為了引導(dǎo)學(xué)生形成類比思維,突破各種解題困境,教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合學(xué)生具體學(xué)情,將類比思想融入到解題教學(xué)中,并結(jié)合具體例題呈現(xiàn)類比思想應(yīng)用方式.只有這樣才能持續(xù)強(qiáng)化學(xué)生的類比思維,使其不斷積累類比思維解題經(jīng)驗(yàn),最終形成相應(yīng)的解題能力.