用解析法求正方形背景下線段(之和)的最值

徐 嵐

(蘇州市第十六中學校, 江蘇 蘇州 215003)

正方形是一種特殊的四邊形,在角和邊等方面具有多重性質,便于旋轉形成線段的最值,因而成為命題熱點.而求解最值往往有多種模型,有沒有一種模型可以解決大部分關于正方形背景的求解線段最值呢?有,那就是直角坐標系模型.

1 常見題型

1.1 “一定一動”基本型

例1 如圖1,正方形ABCD中,邊長為4,E是BC邊上一個動點,連結AE,過E作EF⊥AE交DC于F,求AF的最小值.

圖1 例1(a)圖 圖2 例1(b)圖

分析圖1中,求AF最小值,A是定點,F是動點,組成“一定一動”最值題的基本類型.解題關鍵抓住EF⊥AE這個條件,結合正方形相關性質,構造全等三角形或相似三角形,得到相應線段比值關系.在此基礎上,建立坐標系,設點的坐標,利用兩點距離公式求值.

解答如圖2,∵四邊形ABCD是正方形,EF⊥AE

∴Rt△ABE∽Rt△ECF(一線三直角).

要AF為最小值時,則a=2,代入原式,解得AFmin=5.

1.2 “兩定一動”引申型

例2 如圖3,正方形ABCD中,E是BC邊上一動點,△AEP為等腰直角三角形,若AB為4,則PA+PD的最小值是多少?

圖3 例2(a)圖 圖4 例2(b)圖

分析圖3中,求PA+PD的最小值是多少,屬于“兩定一動”類型,顯然是例1基礎上引申而來.由“兩定一動”自然想到將軍飲馬模型,而P點運動軌跡是什么呢?因為P是隨E點而動,而且,點P、E都繞A點運動,它們比值是定值,夾角∠PAE也是定角,符合瓜豆原理,所以,P點運動軌跡也是一條直線.據此分析,根據瓜豆原理和將軍飲馬模型可以求得線段和的最小值.用直角坐標系模型更為簡便[1].思路和方法與例1同理.

解如圖4,過P點作PF⊥BC,

∵△AEP為等腰直角三角形,∴Rt△ABE≌Rt△EFP,

則AB=EF=4,BE=PF.設BE=a,

則PF=a,BF=4+a.

在直角坐標系中,有A(0,4),D(4,4),P(4+a,a).

設P(a,0),A(0,4),D(2,-2),如圖5.

圖5 例2(c)圖

反思此題需要以數解形,簡化解題思維;又需要以形解數,簡化計算.數形結合,靈活運用,思維含量極高.

1.3 “雙動點”提高型

例3 如圖6,正方形ABCD邊長為4,E為BC上的動點,連結AE,DE.將AE繞點E順時針旋轉90°得到線段EF,G為DE中點,連結FG,求FG的最小值.

圖6 例3(a)圖 圖7 例3(b)圖

分析圖6中,F、G都是動點,對于雙動點,第一步,考慮將其轉化為“一動一定”,此題可以延長EF至H使EF=FH,連結DH,則DH=2GF,而D是定點.第二步,求出動點H的軌跡,應該是一條直線,然后根據點到直線的距離求出最小值.如果用坐標系模型,解題思路更簡潔.

解答 過F作FP⊥BC延長線交于P點,如圖7,

∵AE=EF,∠AEF=90°,

∴Rt△ABE≌Rt△EPF,

則AB=PE,BE=PF.設BE=2a,

則E(2a,0),D(4,4),F(4+2a,2a),G(a+2,2),

1.4 “多動點”拓展型

例4 如圖8,正方形ABCD邊長為4,E為BC上的動點,連結AE,DE.將AE繞點E順時針旋轉90°得到線段EF,G為DE中點,H為AE中點,連結FG,FH,求FG+FH的最小值.

圖8 例4(a)圖 圖9 例4(b)圖

分析圖8中,F,G,H都是動點,FG、FH又是動線段,屬于多動點類型,難度較大.先考慮把動線段轉化為“一定一動”的線段,可以延長EF至P使EF=PF,連結PA、PD,則FG+FH就是PA+PD的一半,變成“兩定一動”類型.下面同例2.如果用坐標法,思路簡潔.

解答:過F點作PF⊥BC交BC延長線于P,如圖9,則Rt△ABE≌Rt△EPF,有BE=PF,AB=EP,設BE=a,則有F(4+a,a),

下面解答同例2,略

2 模型思考

數學教學的主要目標是幫助學生學會思考,用思維方法的分析帶動具體知識的學習,才能提高學生的解題能力.既要學會一題多解的發散思維,也要訓練多題一解的集中思維,在解題過程中,學生要不斷地感悟和理解抽象、推理、直觀的作用,得到新的數學模型,改進思維品質,擴大應用范圍,提升關鍵能力[2].通過一個問題解決一類問題,達到認識問題的本質,提升數學素養.

運用坐標模型解決正方形背景下多種類型的最值問題,有兩點思考.

2.1 適用的題目條件

首先,正方形背景.因為正方形在邊,角,對角線等多方面有特殊的性質,易于建立直角坐標系,正方形頂點和對角線交點坐標容易建立,為解題帶來了諸多的便捷.其次,要有動點線段90度旋轉.因為這個條件結合正方形性質可以構造“一線三直角”模型,得到兩直角三角形相似或全等,求出對應邊的數量關系,便于求出關鍵點的坐標值.最后,動點運動軌跡為直線,一般不適用于圓的軌跡,因為圓軌跡上的點坐標建立比較復雜.

2.2 解題思路歸一

學習要遵循循序漸進原則,透徹理解基本題型的解題思路及原理.所以要讓學生對“一定一動”基本型搞清搞透.首先,利用“一線三直角”模型,應用全等三角形模型或相似三角形模型,求出對應邊數量關系,得出關鍵點的坐標值[3];如圖1中,求出F點坐標;其次,根據坐標系中兩點坐標,代入兩點距離公式;最后,根據函數公式等求出最值.

總之,各種問題都有這個內在規律和聯系,只要我們善于探究發現規律,探究多題一解的規律,我們的思維品質才會提升,要善于分析、歸納、總結,解題思維水平一定得到極大提高.