深刻理解定義 巧妙應對拋物線問題

劉力芳

(尋甸縣第二中學,云南 昆明 655214)

解題是數學學習中一個永恒的話題,數學學習離不開解題.定義通常是人們對某一對象的本質屬性的刻畫,它是人們對一個事物進行判斷和推理的基礎.數學中的定理、性質、公式和法則都是在定義和公理的基礎上推演出來的.每一個知識領域的學習,一般都會從其基本概念入手,之后才逐步層層展開.概念學習是數學學習的一個重要內容,只有正確理解、深刻領悟,才能掌握數學的本質.因此,概念教學是數學基礎知識和基本技能教學的核心.要弄明白一個概念的本質、內涵以及外延,少不了對概念的應用,在應用中學習,在應用中加深理解.

1 利用拋物線定義求軌跡方程

例1求與圓C:(x+2)2+y2=1外切,且與直線x=1相切的動圓圓心M的軌跡方程.

解析設動圓半徑為r,由動圓M與圓C外切知,|MC|=r+1,由動圓M與直線x=1相切知, 點M到直線x=1的距離為r, 把直線x=1向右平移1個單位,得到直線x=2.

從而點M到直線x=2的距離為r+1.

所以動圓圓心M到點C(-2,0)的距離與到直線x=2的距離相等.

根據拋物線的定義知,動圓圓心M的軌跡是拋物線,其中焦點為(-2,0),準線方程為直線x=2,焦點到準線的距離是4,因而p=4.

所以動圓圓心M的軌跡方程為y2=-8x.

點評本題考查了圓與圓相切、直線與圓相切的位置關系,以及拋物線的定義及其標準方程.由拋物線的定義知,“動圓圓心M的軌跡是以(-2,0)為焦點,以直線x=2為準線的拋物線”是解題的關鍵.本題當然可以將點M滿足的條件用坐標表示出來,化簡,求得動圓圓心M的軌跡方程,但計算量相對大了一些.

A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.以上都不對

即動點M(x,y)到直線3x+4y-12=0的距離等于它到原點(0,0)的距離,由拋物線定義可知:動點M的軌跡是以原點(0,0)為焦點,以直線3x+4y-12=0為準線的拋物線.故選C.

2 利用拋物線的定義實現距離的相互轉化

各種標準方程下拋物線上的點到準線的距離見表1所示:

表1 標準方程下拋物線上的點到準線的距離

表示拋物線上一點P(x,y)到準線的距離,只需要點P的橫坐標(拋物線的開口向左或右時)或縱坐標(拋物線的開口向上或下時),若要表示拋物線上一點P(x,y)到焦點的距離,根據兩點間距離公式,點P的橫坐標和縱坐標都需要,從計算的角度看,前者更為簡便.因此解題時,通常根據題意,利用定義將拋物線上的點到準線的距離與到焦點的距離進行相互轉化,從而簡化計算.

例3拋物線x2=4y上一點A的縱坐標為4,則點A到拋物線的焦點的距離為( ).

A.2 B.3 C.4 D.5

分析若直接求解,由點A的縱坐標為4,可求得點A的橫坐標,再求得拋物線的焦點坐標,最后用兩點間的距離公式求解.思路非常清晰,也很自然,但需要一定的計算量.若利用定義進行轉化,則大大簡化了計算.

解析拋物線x2=4y的準線方程為y=-1,由定義知,點A到拋物線的焦點的距離等于點A到準線y=-1的距離.故點A到拋物線的焦點的距離為4+1=5.

整理,得a2+10a+9=0,

解得a=-1或a=-9.

當a=-1時,F(-1,0),p=2,y2=-4x.

當a=-9時,F(-9,0),p=18,y2=-36x.

所以,所求拋物線的標準方程為y2=-4x.

例5 斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點,且與拋物線交于A,B兩點,求線段AB的長.

分析拋物線y2=4x的焦點F(1,0),直線l經過點F(1,0),且斜率為1,故方程為y=x-1.求線段AB的長,一個極其自然的思路就是:由直線與拋物線聯立方程組,求得A,B兩點的坐標,再由兩點間距離公式求得線段AB的長.為了體現并強調二次曲線與直線綜合問題的求解通法,可以對A,B兩點的坐標采用“設而不求”,利用根與系數的關系(見解法1).如果利用定義,注意到直線l經過焦點F,故|AF|等于點A到準線x=-1的距離,設A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|=x1+1,同理,|BF|=x2+1,所以,|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2(見解法2).

解法2 因直線l經過焦點F,所以|AF|等于點A到準線x=-1的距離,設A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|=x1+1,同理,|BF|=x2+1,所以,|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=8.

例6 在平面直角坐標系xOy中,傾斜角為α的直線m過點F(1,0),直線m與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點,拋物線C的準線為直線l.

(1)證明:以AB為直徑的圓與直線l相切;

(2)若線段AB的中垂線n交x軸于點E,證明:|EF|sin2a為定值,并求出此定值.

證明注意到點F(1,0)恰好是拋物線C:y2=4x的焦點.

(1)如圖1,設AB的中點為M,過點A,B,M作直線l的垂線,垂足分別為點A1,B1,M1,由定義得

|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|.

則|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|.

圖1 例6解析圖

所以以AB為直徑的圓與直線l相切.

(2)如圖2, 因為|FA|=|AA1|=|AH|+|HA1|=|FA|cosa+2,

圖2 例6解析圖

所以|EF|sin2α=2.

結論1以拋物線焦點弦為直徑的圓與拋物線的準線相切.

3 求與拋物線有關的最值

例7 設P是拋物線y2=4x上的一個動點,F是拋物線的焦點,

(1)求點P到點A(-1,1)的距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值;

(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.

分析兩個問題分別涉及了拋物線上的點到準線的距離和到焦點的距離,由此可結合拋物線的定義進行轉化,再用相關平面知識予以解決.

解析由已知,拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),準線為直線x=-1.

圖3 例7解析圖(a) 圖4 例7解析圖(b)

(2)如圖4,BM垂直于準線,交準線于點M,交拋物線于點P,|PB|+|PF|=|PB|+|PM|,其最小值等于|BM|=4.

由余弦定理,得|AB|2=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab=(a+b)2-ab.

說明在拋物線中求最值,通常的解法是結合圖形特征,利用拋物線的定義,將拋物線上的點到準線的距離與到焦點的距離相互轉化,從而構造出“兩點之間線段最短”.

深刻理解定義,在解題中靈活運用,巧妙轉化,這不僅可以優化解題過程,反過來也能加深學生對知識本身的認識和掌握.教師在平時的教學中,應該以學生為中心,引導學生反復應用,組織強化訓練,讓學生認識到數學定義在數學學習中的重要性,從而形成良好的、科學的數學學習方法,進而發展學生的數學思維和提升學生的核心素養[1].