求軌跡方程常用的方法

南廣明

(甘肅省康縣第一中學(xué),甘肅 隴南 746500)

所謂求軌跡方程就是尋求動點坐標(biāo)x,y之間的關(guān)系式. 解答這類題的關(guān)鍵是分析形成軌跡的動點和已知條件的內(nèi)在聯(lián)系,利用題設(shè)中的幾何條件,用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系,選擇最便于反映這種聯(lián)系的形式,建立等式.

1 直接法

建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后,設(shè)動點為(x,y),根據(jù)幾何條件尋求x,y之間的關(guān)系式,此法稱為直接法.

例1設(shè)A(-c,0),B(c,0)(c>0)為兩定點,動點P到點A的距離與到點B的距離的比為定值a(a>0),求點P的軌跡.

化簡,得(1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0.

當(dāng)a=1時,化簡得x=0.

點評用直接法求出軌跡方程后,如果方程中有參數(shù),要注意對參數(shù)的討論,看其是否滿足某種曲線對方程的特定要求.“軌跡”和“軌跡方程”是兩個不同的概念,求軌跡方程只需要求出方程即可,而求軌跡則應(yīng)先求出軌跡方程,再說明軌跡的形狀.若題設(shè)條件有明顯的等量關(guān)系,或者可運用平面幾何的知識推導(dǎo)出等量關(guān)系,則可以通過“建系、設(shè)點、列式、化簡、檢驗”五個步驟直接求出動點的軌跡.

2 定義法

如果所給幾何條件正好符合已學(xué)曲線(例如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)的定義,則可直接利用這些已知曲線的方程寫出動點的軌跡方程,此法稱為定義法.

例2 已知三點A(-7,0),B(7,0),C(2,-12),橢圓過A、B兩點且以C為其中一個焦點,求此橢圓的另一個焦點的軌跡方程.

分析解答本題可先根據(jù)橢圓的第一定義,再考慮另一個焦點的幾何特征即可解決.

解析設(shè)另一個焦點為M(x,y),則根據(jù)橢圓的定義,有|AC|+|AM|=|BC|+|BM|.

所以|MB|-|MA|=|AC|-|BC|=2.

又|AB|=14>2,所以|MB|-|MA|<|AB|,即動點M的軌跡是以原點為中心,A,B為焦點,實軸長為2的雙曲線的左支.

點評求曲線的軌跡方程時,盡可能地利用幾何條件探究軌跡的曲線類型,從而再利用待定系數(shù)法求出軌跡的方程,這樣可以減少運算量,提高解題的速度與質(zhì)量.在用雙曲線的定義時,應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對值”,弄清所求軌跡是整條雙曲線還是雙曲線的一支,若是一支,則是哪一支?以確保軌跡的純粹性和完備性.

3 參數(shù)法

當(dāng)動點P(x,y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不容易直接找到,也沒有相關(guān)信息可用時,可考慮將x,y均用中間變量(參數(shù))表示,得參數(shù)方程,再消去參數(shù),得到動點軌跡的普通方程,此法稱為參數(shù)法.

分析設(shè)G(x,y),∠AOB=θ,首先表示B,C兩點坐標(biāo),再利用重心坐標(biāo)公式列參數(shù)方程,消去θ即得點G的軌跡方程.

由重心的坐標(biāo)公式,得點G的坐標(biāo)為

故所求的軌跡方程為

點評本題是與角有關(guān)的軌跡問題,顯然可以用參數(shù)法來求解,在引入?yún)?shù)時要考慮參數(shù)的取值范圍.

4 代入法(相關(guān)點法)

利用所求曲線上的動點與已知曲線上動點的關(guān)系,把所求動點轉(zhuǎn)換為已知動點.具體地說,就是用所求動點的坐標(biāo)(x,y)來表示已知動點的坐標(biāo),并代入已知動點滿足的曲線方程,由此可求得動點坐標(biāo)(x,y)滿足的關(guān)系,此法稱為代入法.

例4 從雙曲線x2-y2=1上一點Q引直線l:x+y=2的垂線,垂足為點N,求線段QN的中點P的軌跡方程.

分析設(shè)P(x,y),因為P是QN的中點,為此需用點P的坐標(biāo)表示點Q的坐標(biāo),然后代入雙曲線方程即可.

解析設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),雙曲線上點Q的坐標(biāo)為(x0,y0).因為點P是線段QN的中點,所以點N的坐標(biāo)為(2x-x0,2y-y0).

又點N在直線x+y=2上,

所以2x-x0+2y-y0=2.

即x0+y0=2x+2y-2.

①

即x0-y0=x-y.

②

由①②,得

又因為點Q在雙曲線上,

所以線段QN的中點P的軌跡方程為

點評本題中動點P與點Q相關(guān),而點Q的軌跡確定,故解決這類問題的關(guān)鍵是找出P,Q兩點坐標(biāo)間的關(guān)系,用相關(guān)點法求解.

5 交軌法

在求動點軌跡方程時,經(jīng)常會遇到求兩動曲線的交點的軌跡方程問題,我們先列出兩動曲線的方程,再設(shè)法消去曲線中的參數(shù)即可得到交點的軌跡方程,此法稱為交軌法.

分析與y軸平行的直線設(shè)為x=x1,點P和P′的縱坐標(biāo)設(shè)為y1和-y1,寫出直線AP和A′P′的方程,可以求其交點,再利用點(x1,y1)在橢圓上,消去x1,y1即可得到軌跡方程.

①

當(dāng)x1≠±2時,直線AP和A′P′的方程分別為

②

③

因為交點Q滿足②③,由②×③得

④

⑤

當(dāng)x1=±2時,y=0,滿足⑤,

點評本題是用交軌法求得軌跡方程的.如果所求軌跡是由兩條動曲線(包括直線)的交點所得,其一般解法是恰當(dāng)?shù)匾M(jìn)一個參數(shù),寫出兩條動曲線的方程,消去參數(shù),即得所求的軌跡方程.

6 幾何法

根據(jù)曲線的某些顯著的幾何特征和性質(zhì),通過推理列出等式求出軌跡方程,這種求軌跡的方法叫做幾何法.

分析利用三角形外心的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解.

點評借助于平面幾何的有關(guān)定理、性質(zhì)等,從而分析出其數(shù)量關(guān)系,這種借助幾何定理的方法是求動點軌跡的重要方法.

7 待定系數(shù)法

凡是已知曲線類型,只需利用已知條件,求出曲線方程中的待定系數(shù)就可以求出曲線方程,這種求軌跡的方法叫做待定系數(shù)法.

例7 已知圓C在x軸上的一個截距為-2,在y軸上的截距為1和3,求圓C的方程.

點評求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷出所求圓過三點的坐標(biāo).

8 設(shè)而不求法

求弦的中點的軌跡方程,常常運用“設(shè)而不求”的技巧,通過中點坐標(biāo)及斜率的代換,達(dá)到求出軌跡方程的目的[1],這種求軌跡方程的方法叫做設(shè)而不求法,也稱做“平方差法”“點差法”“差分法”等.

分析利用弦的兩端點P(x1,y1),Q(x2,y2)在已知的二次曲線上,將P,Q的坐標(biāo)代入方程,然后相減,利用平方差公式可得含x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2的關(guān)系式,再利用其他條件代入整理即可得到軌跡方程.

兩式相減,得

又因為x1+x2=4,y1+y2=2,

即18x+25y-61=0.

點評設(shè)而不求法求軌跡方程的步驟:(1)設(shè)點;(2)代入;(3)相減;(4)求解.運用此法要注意限制軌跡方程中變量可能的取值范圍.