綜合運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解高中函數(shù)競賽題例析

馬青蓮 馬宇超

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002)

馬宇超,男,碩士研究生,從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

函數(shù)的性質(zhì)雖然較為簡單直觀,但是在解函數(shù)競賽題中有著重要的作用,能夠達(dá)到化繁為簡,事半功倍的效果.本文通過具體的例子,對綜合運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解函數(shù)競賽題進(jìn)行探究.

1 參數(shù)的值或取值范圍求解

1.1 求參數(shù)的值

解析注意到f(x)在(0,10]上單調(diào)遞減,在[10,+∞)上單調(diào)遞增.

當(dāng)a∈(0,10]時,m1=f(a),m2=f(10);

當(dāng)a∈[10,+∞)時,m1=f(10),m2=f(a).

因此總有f(a)f(10)=m1m2=2 020.

解得a=1或a=100.

評注f(x)屬于“對勾函數(shù)”,m1和m2隨著a的變化而變化,所以需要對a的取值范圍進(jìn)行討論,通過函數(shù)的單調(diào)性確定m1和m2對應(yīng)的函數(shù)值,進(jìn)而確定a的值.

1.2 求參數(shù)的取值范圍

所以|a-2|>|2a+1|>0.

評注偶函數(shù)f(x)滿足性質(zhì)f(x)=f(|x|),f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,即可將求解f(a-2)|2a+1|>0.對于這類題型,可通過函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性從而去掉“f”,解出參數(shù)的取值范圍.

2 函數(shù)的值域求解

解析原函數(shù)的定義域是

評注本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性.首先需要求出函數(shù)f(x)的定義域,然后要在定義域內(nèi)分區(qū)間討論,判斷區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性并求出最值,進(jìn)而得到函數(shù)的值域.

3 函數(shù)最值求解

例4(2017年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東預(yù)賽)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(1)=2,當(dāng)x>0時,f(x)單調(diào)遞增,且對于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),則函數(shù)f(x)在[-3,-2]上的最大值是____.

解析因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(-∞,0)上也單調(diào)遞增.

則當(dāng)x∈[-3,-2]時,

f(-3)≤f(x)≤f(-2);

當(dāng)x=1,y=1時,有f(2)=f(1)+f(1)=4.

所以f(-2)=-f(2)=-4.

所以函數(shù)f(x)在[-3,-2]上的最大值是-4.

評注奇偶性是一種對稱性,奇函數(shù)在對稱區(qū)間上具有相同的單調(diào)性,可判斷f(x)在(-∞,0)上也是單調(diào)遞增,即函數(shù)f(x)在[-3,-2]上的最大值為f(-2),再利用奇函數(shù)滿足性質(zhì)f(-x)=-f(x)代入解析式即可求出最大值.

4 解不等式

解析因為f(x)是奇函數(shù),所以

f(x)+f(-x)=0.

也即(2-a2)x2=0.

所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

5 證明不等式

通過上面的例子可知,對于求解函數(shù)問題,往往需要綜合運(yùn)用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和對稱性等函數(shù)性質(zhì),對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,達(dá)到化繁為簡、化難為易的功效,進(jìn)而解決問題.