綜合運用函數性質解高中函數競賽題例析

馬青蓮 馬宇超

(揚州大學數學科學學院,江蘇 揚州 225002)

馬宇超,男,碩士研究生,從事數學教學研究.

函數的性質雖然較為簡單直觀,但是在解函數競賽題中有著重要的作用,能夠達到化繁為簡,事半功倍的效果.本文通過具體的例子,對綜合運用函數性質解函數競賽題進行探究.

1 參數的值或取值范圍求解

1.1 求參數的值

解析注意到f(x)在(0,10]上單調遞減,在[10,+∞)上單調遞增.

當a∈(0,10]時,m1=f(a),m2=f(10);

當a∈[10,+∞)時,m1=f(10),m2=f(a).

因此總有f(a)f(10)=m1m2=2 020.

解得a=1或a=100.

評注f(x)屬于“對勾函數”,m1和m2隨著a的變化而變化,所以需要對a的取值范圍進行討論,通過函數的單調性確定m1和m2對應的函數值,進而確定a的值.

1.2 求參數的取值范圍

所以|a-2|>|2a+1|>0.

評注偶函數f(x)滿足性質f(x)=f(|x|),f(x)在(0,+∞)單調遞增,即可將求解f(a-2)|2a+1|>0.對于這類題型,可通過函數的奇偶性和單調性從而去掉“f”,解出參數的取值范圍.

2 函數的值域求解

解析原函數的定義域是

評注本題主要考查函數的單調性.首先需要求出函數f(x)的定義域,然后要在定義域內分區間討論,判斷區間上函數的單調性并求出最值,進而得到函數的值域.

3 函數最值求解

例4(2017年高中數學聯賽廣東預賽)設f(x)是定義在R上的奇函數,f(1)=2,當x>0時,f(x)單調遞增,且對于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),則函數f(x)在[-3,-2]上的最大值是____.

解析因為f(x)是定義在R上的奇函數,且在(0,+∞)上單調遞增,所以f(x)在(-∞,0)上也單調遞增.

則當x∈[-3,-2]時,

f(-3)≤f(x)≤f(-2);

當x=1,y=1時,有f(2)=f(1)+f(1)=4.

所以f(-2)=-f(2)=-4.

所以函數f(x)在[-3,-2]上的最大值是-4.

評注奇偶性是一種對稱性,奇函數在對稱區間上具有相同的單調性,可判斷f(x)在(-∞,0)上也是單調遞增,即函數f(x)在[-3,-2]上的最大值為f(-2),再利用奇函數滿足性質f(-x)=-f(x)代入解析式即可求出最大值.

4 解不等式

解析因為f(x)是奇函數,所以

f(x)+f(-x)=0.

也即(2-a2)x2=0.

所以f(x)在(0,+∞)上單調遞增.

5 證明不等式

通過上面的例子可知,對于求解函數問題,往往需要綜合運用函數的奇偶性、單調性、周期性和對稱性等函數性質,對問題進行轉化,達到化繁為簡、化難為易的功效,進而解決問題.