整體視角巧切入 數形結合妙求解
——三角函數中ω的求解思考

陳麗洪

(福清第三中學,福建 福州 350315)

三角函數是高中數學內容中非常重要的模塊.由于三角函數涉及的知識點豐富,題型靈活多變,所以很多學生對此類問題存在畏懼心理.特別是以ω為參數的三角函數試題不僅是數學高考的熱點,也是難點,在很大程度上困擾著學生.

利用整體思想和數形結合等數學思想,把復雜問題簡單化、熟悉化,能更有效地破解求參數ω的問題.實踐表明,學生在用整體思維解答三角函數問題時,被其中所蘊含的巧妙所折服.而數形結合思想,可以把抽象的問題可視化,極大地簡化計算,使我們更快地抓住問題的本質.所以,在解三角函數有關問題時,我們應該將兩種思想結合使用.

1 試題呈現

設計意圖本題考查正弦函數的單調性和最值,以及正弦函數的圖象特征,兼顧考查了學生直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養以及轉化與化歸等重要數學思想,同時還考查了學生分析問題、解決問題的能力.

2 解法分析

3 方法剖析

4 應用賞析

例1已知函數f(x)=cosωx-1(ω>0)在區間[0,2π]有且僅有3個零點,則ω的取值范圍是____.

命題意圖本題考查余弦函數圖象和零點問題,側重考查邏輯推理、數學運算的核心素養.

分析由零點的定義,令f(x)=0,得cosωx=1有3個解,然后利用整體代換化熟悉和數形結合定區間兩個步驟并結合余弦函數的圖象性質即可得解.

解析因為0≤x≤2π,所以0≤ωx≤2ωπ.

令f(x)=cosωx-1=0,則cosωx=1有3個根,令t=ωx,則cost=1有3個根,其中t∈[0,2ωπ],

由圖1可得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3.

圖1 y=cost圖象

解析依題意可得ω>0.

圖2 例2解析圖

此題與前面一題的主要區別是不能直接判斷區間大致位置,此時可根據三角函數圖象特征,也就是“單調區間長度不超過半個周期”,首先得到ω的大致取值范圍,從而確定區間兩端點的取值范圍,接著再結合圖象與性質確定區間左右端點的具體范圍,從而求出ω的取值范圍.

數學思想是對數學相關概念、定理等內容最本質的認識,《數學課程標準(2017年版2020年修訂)》指出:數學學科核心素養是“四基”的繼承和發展[2].“四基”是培養學生數學學科核心素養的沃土,是發展學生數學學科核心素養的有效載體.而數學思想方法是“四基”的重要組成部分,因此,教師應有意識地在日常教學中滲透數學思想方法,以提高學生的數學思維水平,提升素養為目標,促使學生更好地適應考試題目的創新.