整體視角巧切入 數(shù)形結(jié)合妙求解
——三角函數(shù)中ω的求解思考

陳麗洪

(福清第三中學(xué),福建 福州 350315)

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中非常重要的模塊.由于三角函數(shù)涉及的知識(shí)點(diǎn)豐富,題型靈活多變,所以很多學(xué)生對(duì)此類問題存在畏懼心理.特別是以ω為參數(shù)的三角函數(shù)試題不僅是數(shù)學(xué)高考的熱點(diǎn),也是難點(diǎn),在很大程度上困擾著學(xué)生.

利用整體思想和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想,把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、熟悉化,能更有效地破解求參數(shù)ω的問題.實(shí)踐表明,學(xué)生在用整體思維解答三角函數(shù)問題時(shí),被其中所蘊(yùn)含的巧妙所折服.而數(shù)形結(jié)合思想,可以把抽象的問題可視化,極大地簡(jiǎn)化計(jì)算,使我們更快地抓住問題的本質(zhì).所以,在解三角函數(shù)有關(guān)問題時(shí),我們應(yīng)該將兩種思想結(jié)合使用.

1 試題呈現(xiàn)

設(shè)計(jì)意圖本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性和最值,以及正弦函數(shù)的圖象特征,兼顧考查了學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)以及轉(zhuǎn)化與化歸等重要數(shù)學(xué)思想,同時(shí)還考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

2 解法分析

3 方法剖析

4 應(yīng)用賞析

例1已知函數(shù)f(x)=cosωx-1(ω>0)在區(qū)間[0,2π]有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則ω的取值范圍是____.

命題意圖本題考查余弦函數(shù)圖象和零點(diǎn)問題,側(cè)重考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

分析由零點(diǎn)的定義,令f(x)=0,得cosωx=1有3個(gè)解,然后利用整體代換化熟悉和數(shù)形結(jié)合定區(qū)間兩個(gè)步驟并結(jié)合余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)即可得解.

解析因?yàn)?≤x≤2π,所以0≤ωx≤2ωπ.

令f(x)=cosωx-1=0,則cosωx=1有3個(gè)根,令t=ωx,則cost=1有3個(gè)根,其中t∈[0,2ωπ],

由圖1可得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3.

圖1 y=cost圖象

解析依題意可得ω>0.

圖2 例2解析圖

此題與前面一題的主要區(qū)別是不能直接判斷區(qū)間大致位置,此時(shí)可根據(jù)三角函數(shù)圖象特征,也就是“單調(diào)區(qū)間長(zhǎng)度不超過半個(gè)周期”,首先得到ω的大致取值范圍,從而確定區(qū)間兩端點(diǎn)的取值范圍,接著再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定區(qū)間左右端點(diǎn)的具體范圍,從而求出ω的取值范圍.

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)相關(guān)概念、定理等內(nèi)容最本質(zhì)的認(rèn)識(shí),《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》指出:數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是“四基”的繼承和發(fā)展[2].“四基”是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的沃土,是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體.而數(shù)學(xué)思想方法是“四基”的重要組成部分,因此,教師應(yīng)有意識(shí)地在日常教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法,以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平,提升素養(yǎng)為目標(biāo),促使學(xué)生更好地適應(yīng)考試題目的創(chuàng)新.