關于解決高中數學中最值問題的分析

苗祥磊 王德朋

(1.喀什第二中學,新疆 喀什 844099;2.喀什大學數學與統計學院,新疆 喀什 844008)

最值問題是高中數學中比較常見的題目,亦是高考中經常考查的題目.針對該問題的解題方法也比較靈活、多樣,不同的題型,分析解決問題的方法也不一樣.運用函數思想與數形結合思想對于求解這類問題都有著極強的助力.

1 函數中的最值問題

(1)求函數g(x)在[-1,+∞)上的最小值;

表1 函數的單調性

因此當x=-1時,g(x)取得最小值,即

2 三角函數中的最值問題

(1)把f(x)的解析式改寫為f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式;

整理,得f(x)=2sin2x-2cos2x

(2)結合第(1)問,f(x)的最小正周期為

3 數列中的最值問題

(1)求數列{an},{bn}的通項公式;

又因為Tn=a1·2n+2-4=2n+2-4,

所以b1=T1=4,bn=Tn-Tn-1=2n+2-4-(2n+1-4)=2n+1.

Sn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)·2n,

2Sn=2×22+3×23+…+(n+1)·2n+1,

所以Sn=n·2n+1.

綜上,k的取值范圍為(2,+∞).

4 解三角形中的最值問題

解析根據b2+c2=accosC+c2cosA+a2,由余弦定理,得

①

②

③

5 平面向量中的最值問題

(1)求實數λ的值;

“一生四夢，得意處惟在牡丹”[1]的《牡丹亭還魂記》，主要依據《杜麗娘慕色還魂》改編，這是不爭的事實。但魏晉志怪、唐人傳奇對《牡丹亭》創作的影響，人們常常估計不足。湯顯祖在《牡丹亭題詞》里明明白白寫道：

6 圓錐曲線中的最值問題

例6已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,過點F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E兩點,求|AB|+4|DE|的最小值.

設A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達定理,得

綜上,|AB|+4|DE|的最小值為36.

高中數學中大部分內容都能與函數的最值問題聯系起來[1],也是考題中經常出現的題目,難度較大,方法也比較靈活.教師在教學中要把最值問題作為一個專題,引導學生掌握解題方法,做到具體問題具體分析,引導學生對每一種類型題都能夠有思路,鍛煉學生的思維能力.總之,思路要靈活,掌握解題方法是最關鍵的.