構造常數列解決數列中累乘法求通項問題

劉琳琳

(山東省泰安市寧陽縣第一中學,山東 泰安 271400)

2022年高考全國Ⅰ卷對數列的考查再次打破了2021年高考的考查模式,回歸到獨立單一遞推關系式,采用了分式型遞推關系式,這類試題在求數列通項公式時反復練過,應該是熟題,但考前模擬訓練相對較少,所以有部分學生感到不適.

(1)求{an}的通項公式;

本題的主要問題集中在求解數列通項公式上,第(2)問只是一個裂項相消求和問題,比較簡單,所以我們主要研究第(1)問.

1 試題求解

解法1(基于項的累乘法)因為a1=1,

整理,得(n-1)an=(n+1)an-1.

兩邊同除以n,得

點評解法1是我們平時求數列通項常用的累乘法,根據數列的遞推關系求通項公式,目前絕大多數的教學輔導用書上所介紹的方法都是累加法、累乘法、待定系數法等．

解法2是通過構造常數列把一個變化的數列轉化為常數求解,這樣往往減少很大的計算量,也不必再對a1=1進行檢驗,達到四兩撥千斤的效果．

定義已知數列{an},若an+1=an,則稱數列{an}為常數數列.

若數列{an}是常數數列,則an=a1,所以求常數數列的通項公式只要求出首項a1即可．

2 類題研究

類型1An+B,A(n+k)+B是相鄰兩項,即k=1.

所以(n+1)an+1=nan.

因此{nan}是常數列,所以nan=1×a1=2 .

例2 已知數列{an}中,a1=1,(2n+1)an+1=(2n-1)an,求{an}的通項公式.

解析由(2n+1)an+1=(2n-1)an,得{(2n-1)an}是常數列.

所以(2n-1)an=a1=1.

方法小結關注遞推關系式中的項,把關于n的兩個式子與項對應起來,構建項與項數的乘積或者商的結構形式,形成常數列,直接可以寫出數列的通項公式[1].

類型2An+B,A(n+k)+B中的項數k間隔一位.

(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2).

兩邊同時乘以2n-1,得

(2n-1)(2n+1)an=(2n-1)(2n-3)an-1(n≥2).

故{(2n-1)(2n+1)an}是常數列.

故(2n-1)(2n+1)an=1×3a1=1.

兩邊同時除以2n-1,得

可得an=(2n-1)(2n+1)=4n2-1．

方法小結變形遞推關系式,兩邊同乘或同除以某個項數,直接構造常數列,從而求出{an}的通項公式,這樣操作往往比累乘法更簡單,僅僅需要關注遞推關系式的結構特點．

以上兩種情形都是以構建常數列為基準,相對于累乘法還是要簡單些,至于項數相隔再多的遞推關系,一般不會出現,也就沒有研究的必要了.

解法1(累乘法)當n≥2時,2(n-1)an-nan-1=0,則2(n-1)an=nan-1.

n=1也滿足上式,

解法2(構造等比數列)由2(n-1)an-nan-1=0(n≥2),得2(n-1)an=nan-1(n≥2).

把以上n-1個式子相乘,得

兩邊同乘以n+1,得

例7在數列{an}中,a1=2,(n2+1)an+1=2(n2-2n+2)an,求數列{an}的通項公式．

解法1(累乘法)依題意,a1=2,(n2+1)an+1=2(n2-2n+2)an.

即(n2+1)an+1=2[(n-1)2+1]an,

當n=1時也滿足上式,

解法2(構造等比數列)由(n2+1)an+1=2(n2-2n+2)an,

配方得(n2+1)an+1=2[(n-1)2+1]an.

所以{[(n-1)2+1]an}是等比數列,首項為2,公比q=2,得

[(n-1)2+1]an=2n.

3 其它形式累乘法

例8在數列{an}中,a1=1,an+1=2nan,求數列{an}的通項公式．

解法2(構造常數列 )因為an+1=2nan,