新題型 新視角 新方法
——以一道模考題為例

孔令春

(永靖縣移民中學,甘肅 臨夏回族自治州 731600)

烏魯木齊地區2023年高三年級第二次質量檢測數學試卷,與教育部發布的高考信息“數學高考加入復雜情景,強調數學思想方法”很貼近.其中第15題可以說是一道難題,更應該說是一道考查數學思想方法的創新好題.此題若缺少深刻的思維,沒有思想方法做指引,必將寸步難行,甚至影響后續答題.

1 題目呈現

2 解法探究

視角1 利用點在曲線上構建a,c的關系.

解法1 設c為橢圓的半焦距,由已知易得F1(-c,0),A(0,-b).

化簡,得bx+cy+bc=0.

因為F2(c,0),

化簡,得by=cx-c2.

設M(x0,y0),則N(x0,-y0).

所以bx0+cy0+bc=0,

①

by0-cx0+c2=0.

②

③

整理,得5c2=a2.

④

評析本解法學生容易想到,思路通暢.但是在③和④處的計算量是相當大的,限于篇幅,未做展示.計算能力不足的學生很可能中途放棄.作為基本功訓練尚可,考場上不可取.我們必須在思想方法上下功夫,以期減少“死算”致錯風險.

視角2 通過向量共線引入參數,建立e與參數的關系,進而求e.

所以(-c-x0,-y0)=(λc,-λb).

因為M((-λ-1)c,λb),

所以N((-λ-1)c,-λb).

因為NF2⊥AM,所以kNF2·kAM=-1.

評析由于利用平面向量知識引入了參數,運算量明顯減少了.本解法用到了方程思想、消元思想.將求離心率等價轉化為求參數λ.這里也有整體代換的思想,不失為一種好方法,值得借鑒.

視角3 從點A的坐標入手,借助韋達定理求解.

解法3 因為A(0,-b),F1(-c,0),F2(c,0),

(a2+c2)y2+2bc2y-b4=0.

而yA=-b,

因為NF2⊥AM,所以kNF2·kAM=-1.

整理,得a2=5c2.

評析本解法充分利用了圓錐曲線的基本原理,巧妙地將復雜的坐標計算轉化為直線與曲線的相交關系[1],在韋達定理的作用下快速得解.本質是思維升級,運算減量.這種方法不僅適合小題,也適合解答題.學生的這種數學意識不強,很多學生難以在考場上想到,我們需要平時的訓練和積累.事實上,消去y也同樣可以完成解答,有興趣的同仁可以試試.

視角4 從幾何的角度出發,利用對稱關系將e幾何化.

解法4 如圖1,連接MN,MF2,AF2,

圖1 構造直角用圖

易得MN⊥PF2.

記∠PMF1=α,

由△MPF1∽△QF1F2,得∠PMF1=∠F1F2Q=α.

由△MPF1∽△F1OA,得∠PMF1=∠F1AO=α.

由對稱性得

∠MF2F1=∠F1F2Q=α,∠F2AO=∠F1AO=α.

所以∠MF2Q=∠F1AF2=2α.

所以ΔMQF2∽ΔMF2A.

所以∠MF2A=∠MQF2=90°.

設|MF2|=t,則|MF1|=2a-t.

而|AF1|=|AF2|=a,

由|MA|2=|AF2|2+|MF2|2,得

(3a-t)2=a2+t2.

評析解析幾何本質還是幾何,因此在解答解析幾何題目時,我們要高度關注題目所包含的幾何特性.解題時利用幾何關系可以省去大量的代數運算,甚至可以口算,正如本例.本題最關鍵的幾何關系是四個等角,兩組相似,挖掘出一個直角三角形.

視角5 從幾何的角度考慮,利用正弦定理及橢圓的定義,將e幾何化.

解法5 如圖1,設∠MF2F1=α,∠F1MF2=θ,

那么∠MF1F2=π-(α+θ).

在△MF1F2中,由正弦定理,得

結合橢圓定義和幾何性質,得

所以b2=4c2.

即a2-c2=4c2.

評析本解法充分利用了橢圓的定義和正弦定理,將代數和幾何關系恰當地結合在一起,是典型的數形結合思想的應用.本解法揭示了本題的幾何含義,屬于求解離心率問題極致解法,避開了繁雜運算.也許命題專家就是基于此進行試題編制的.這也正是學數學的一種較高境界——厘清問題的本質.

視角6 從焦點弦出發,結合幾何.

解法6 如圖1,設∠MF1F2=φ,

整理,得a4+5c4-6a2c2=0.

即5e4-6e2+1=0.

從解法4,5,6不難看出,利用題目中蘊含著的幾何關系解題非常便捷[2],但往往難以發現幾何關系,數形結合的思想方法就難以落地.下面再舉一例.

分析本題背景看似是簡單的三角形,實際很復雜.無論是三角形的邊,還是角的數量關系都不是很清晰.已知條件很難糅合在一起,能夠把這些邊角關系結合起來的恰恰是題目隱藏著的幾何關系.

如圖2,過點C作CE∥AB,CE與AD的延長線交于點E.

圖2 構造相似形

設AE=x,于是在△ACE中,

結合3b+c=4整理,得

故選B.

布魯納認為:“掌握基本的數學思想和方法可以使得數學更加容易理解.”事實上,掌握基本的數學思想和方法才能通向思維遷移的陽光大道.在基本數學思想的指導下,運用數學方法才能駕馭數學知識,才能培養學生的核心素養.這不但使數學學習變得容易,而且會使得別的學科也容易學習.因此,數學教學不能就知識論知識,而是要使學生掌握數學最根本的東西,用數學思想和方法統領具體知識、具體解題方法,逐漸形成自身能力.