對2023年乙卷理科16題的再思考

林 敏

(莆田第一中學,福建 莆田 351199)

導數中與參數有關的恒成立問題歷來是高考中的重點考查對象,也是學生學習的難點之一,學生的得分率往往不高.本文以2023年乙卷高考填空壓軸題第16題為例,對恒成立問題中的常見方法進行總結歸類,并對端點效應的應用進行拓展.

1 試題呈現與解法探究

例1 (2023年乙卷理16)設a∈(0,1),若函數f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調遞增,則a的取值范圍是____．

試題分析題目以函數的單調性為背景,既涵蓋了指對函數的性質,又考查了含參函數的恒成立問題,試題的思維過程和運算過程既體現了轉化與化歸、分類討論等數學思想,又重點考查了學生邏輯推理與數學運算等核心素養,具有一定的難度和區分度,是一道很有“嚼頭”的好題!

1.1完全分離參數

解法1由題意,f′(x)=axlna+(1+a)xln(1+a)≥0在(0,+∞)上恒成立,即

(1+a)xln(1+a)≥-axlna.

解法2同解法1得

評注解法1和解法2大同小異,都是對導函數變形,取對數后分離參數a與自變量x后討論a的取值范圍,這是處理恒成立問題的通性通法,缺點是運算較為繁瑣,對學生的數學運算素養要求較高[1].

1.2 半分離參數

解法3同解法1,得

1.3 端點效應

在介紹解法4前,先給出端點效應的相關內容:

(1)若連續函數f(x)≥0在區間[a,+∞)恒成立,且f(a)=0,則f′(a)≥0;

(2)若連續函數f(x)≥0在區間[a,+∞)恒成立,f(a)=0且f′(a)=0,則f′(a)≥0．

證明(1)當f′(a)<0,由連續函數性質,?x0>a,當x∈(a,x0)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減,f(x)

(2)當f″(a)<0,由連續函數性質,?x0>a,當x∈(a,x0)時,f″(x)<0,f′(x)單調遞減,所以f′(x)

在求含參數的恒成立問題時,利用函數取端點時的特殊值可以縮小參數的取值范圍.如上述(1)式證明,先求出使式子無法恒成立的反面條件,此時能夠排除掉參數的不合理范圍,但要注意的是,縮小后的參數范圍不一定就是最終答案,如函數f(x)圖象有可能如圖1所示:

圖1 端點效應特殊情況

所以需要對f′(a)≥0進行討論,進一步求出參數范圍.

解法4由題意,f′(x)=axlna+(1+a)xln(1+a)≥0在(0,+∞)上恒成立,又f″(x)=ax(lna)2+(1+a)x[ln(1+a)]2>0,

所以f′(x)在(0,+∞)上單調遞增.

而f′(0)=lna+ln(1+a)=ln(a2+a),

②若f′(0)<0,由連續函數性質,?x0>0,當x∈(0,x0)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減,矛盾.

評注對函數求導后發現f′(0)=0,滿足端點效應,則f′(x)在原點右側附近不可能單調遞減[2],否則f(x)單調遞減,所以可以縮小參數a的范圍,提高解題效率,相比于前面幾種解法而言,計算量和思維量都比較小,可謂是“小結論,大用途”.

1.4 數形結合

解法5當a∈(0,1)時,y=ax在(0,+∞)上單調遞減,y=(1+a)x在(0,+∞)上單調遞增,作出相應圖象(如圖2):

圖2 例1解法5

在(0,+∞)上y=ax越減越慢,y=(1+a)x越增越快,故只要在x→0+的一瞬間y=(1+a)x增長的速度比y=ax下降的速度更快即可,所以x→0+時,[(1+a)x]′>-(ax)′,即ln(a+1)+lna>0,后同解法1.

評注解法5通過數形結合,利用y=ax與y=(1+a)x在原點處導數變化速度的快慢從而確定范圍,幾乎沒有運算量,但需要學生具有較強的幾何直觀素養.

2 端點效應的應用拓展

例2(2016年全國Ⅱ卷文20節選)已知函數f(x)=(x+1)lnx-a(x-1),若當x∈(1,+∞)時,f(x)>0,求a的取值范圍.

當a>2時,f′(1)<0,由連續函數性質:?x0>1,當x∈(1,x0)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減,所以f(x)f′(1)>0,f(x)單調遞增,所以f(x)>f(1)=0.

綜上,a∈(-∞,2].

評注使用端點效應縮小后的參數范圍只是必要條件,不一定就是參數的最終范圍,需要繼續驗證其充分性.

例3(2017年全國Ⅱ卷文21節選)設函數f(x)=(1-x2)ex,當x≥0時,f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.

解析令g(x)=f(x)-ax-1=(1-x2)ex-ax-1,g(0)=0,g′(x)=f′(x)-a=(-x2-2x+1)ex-a,g′(0)=1-a,g″(x)=(-2x-2)ex+(-x2-2x+1)ex=-(x2+4x+1)ex<0在[0,+∞)恒成立,所以g′(x)單調遞減.

當a<1時,g′(0)>0,由連續函數性質:?x0>0,當x∈(0,x0)時,g′(x)>0,g(x)單調遞增,所以g(x)>g(0)=0,f(x)>ax+1,舍去;

當a≥1時,g′(0)≤0,?x≥0,g′(x)≤g′(0)≤0,g(x)單調遞減,故g(x)

綜上,a∈[1,+∞).

評注本題構造函數后無法直接看出一階導的增減性,所以需要求二階導,注意到(x2+4x+1)ex在[0,+∞)恒正,所以不需要求二階導的根,避免了不必要的分類討論.

一道好的試題的研究價值不應僅僅停留在解法及應用上, 還應該對試題本身做深入的研究. 運用端點效應破解恒成立問題,避免了對形式復雜的函數進行分離參數時的復雜運算,計算簡便.因此在日常教學中,教師既要引導學生練好“本手”,掌握通性通法;也要注重引導學生對簡便解法多加積累,總結規律,一題多解,避免思維定式,這樣,學生才能在考試時游刃有余,妙手生花.