多解多變 精彩呈現
——以2023年高考全國乙卷文科第11題為例

李 寒

(貴州省貴陽市第一中學,貴州 貴陽 550081)

2023年高考乙卷文科的第11題設問表達清晰、簡潔,情境熟絡,給人以“似曾相識”的親和感,是一道能夠很好地體現“基礎性”和“全面性”考查要求的高考試題[1].

1 試題再現

題目已知實數x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0,則x-y的最大值是( ).

2 一題多解

分析1設x-y=μ,與已知條件中的二元二次方程聯立,消去x,運用判別式法解答.

解法1設x-y=μ,則x=y+μ.

2y2+(2μ-6)y+μ2-4μ-4=0.

因為y∈R,則判別式△=(2μ-6)2-4×2(μ2-4μ-4)≥0.

化簡,得μ2-2μ-17≤0.

故選C.

點評解法1運用“判別式法”解答,是這類問題“通性通法”之一.

分析2將已知條件中的二元二次方程配方為(x-2)2+(y-1)2=9,運用三角換元法求解.

解法2將x2+y2-4x-2y-4=0,

配方、整理,得

(x-2)2+(y-1)2=9.

所以x-y=3cosα+2-3sinα-1

=3(cosα-sinα)+1

因為α∈[0,2π],

故選C.

點評解法2運用三角換元,把代數式的最值問題轉化為三角問題,應用三角恒等變換和三角函數的有界性解答,也是解這類問題的一種常用解答方法之一.

分析3將已知條件中的二元二次方程配方、整理為(x-2)2+(y-1)2=9,設x-y=μ,利用圓心到直線的距離小于等于半徑求解.

解法3由x2+y2-4x-2y-4=0,

配方、整理,得

(x-2)2+(y-1)2=9.

設x-y=μ,則圓心到直線x-y=μ的距離

故選C.

點評解法3運用“幾何法”解答,簡化了運算求解過程,是最為常用的“通性通法”.

分析4將已知條件中的二元二次方程配方、整理為(x-2)2+(y-1)2=9,設x-y=μ,即y=x-μ,此時“-μ”是直線y=x+(-μ)在y軸上的截距.如圖1,平移直線y=x至與圓在右下方相切時,直線y=x+(-μ)在y軸上的截距最小,μ最大,利用圓心到直線的距離等于半徑解答.

解法4由x2+y2-4x-2y-4=0,

配方、整理,得

(x-2)2+(y-1)2=9.

設x-y=μ,如圖1,平移直線y=x,當平移至與圓相切時,則圓心到直線x-y=μ的距離

故選C.

圖1 解法4示意圖

點評解法4通過平移直線,數形結合解答,快速簡捷,可謂是一種“秒殺”該試題的一種解法!

分析5 將已知條件中的二元二次方程配方、整理為(x-2)2+(y-1)2=9,進行雙變量換元,然后應用重要不等式“x2+y2≥2xy,當且僅當x=y時取到等號”的變形“2(x2+y2)≥(x+y)2”進行解答.

解法5由x2+y2-4x-2y-4=0,

配方、整理,得

(x-2)2+(y-1)2=9.

m2+n2=9,x-y=m-n+1.

因為2(m2+n2)≥(m+n)2,

所以(m-n)2=[m+(-n)]2

≤2[m2+(-n)2]

=2(m2+n2)=18.

當且僅當m=-n,即

點評解法5首先雙變量換元,然后運用重要不等式的變形式解答,思維別致、頗具新意.

解法6由x2+y2-4x-2y-4=0,

配方、整理,得

(x-2)2+(y-1)2=9.

由二維柯西不等式,得

[(x-2)2+(1-y)2]·(12+12)≥[(x-2)·1+(1-y)·1]2=(x-y-1)2.

所以(x-y-1)2≤9×2=18.

點評解法6依據已知條件中方程左邊配方后為平方和的結構特點,配湊后應用二維柯西不等式來解答,十分巧妙.

解法7由x2+y2-4x-2y-4=0,

配方、整理,得

(x-2)2+(y-1)2=9.

由二維權方和不等式,得

所以(x-y-1)2≤18.

點評解法7依據已知條件方程中左邊配方后為平方和的結構特點,在進行配湊變換的基礎上,變換出二維權方和不等式左邊的形式,應用二維權方和不等式解答.

3 一題多變

題設條件中的方程是圓的一般方程,而涉及與圓有關的最值問題主要有以下三類,常用方法是借助圖形性質,利用幾何法,數形結合求解.

(2)截距型.形如t=ax+by形式的最值問題,可轉化為動直線截距的最值問題.

(3)距離型.形如(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉化為動點到定點距離的最值問題.

以下從這三個方面,如果不改變已知條件中的方程,只改變結論中的目標式,可有:

令P(x,y),A(-3,-2),點P在圓(x-2)2+(y-1)2=9上運動.

設過點A的直線l的方程為y+2=kAP(x+3).

即kAPx-y+3kAP-2=0.

則圓心(2,1)到直線l的距離

去分母兩邊平方,得

變式2已知實數x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0,則3x+4y的最大值為____.

解析將已知條件中的方程配方、整理為圓的標準方程(x-2)2+(y-1)2=9.

故3x+4y的最大值為25.

變式3已知實數x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0,則(x+2)2+(y-5)2的最大值為____.

解析將已知條件中的方程配方、整理為圓的標準方程(x-2)2+(y-1)2=9,則(x+2)2+(y-5)2表示圓上一點(x,y)與定點(-2,5)距離的平方.

由平面幾何知識可知:在定點與圓心連線所在的直線和圓的兩個交點處取得最大值和最小值.

二元條件最值問題種類眾多、情形復雜.如果既改變高考題已知條件中的方程,又改變結論中的目標式,可有:

變式4已知實數x,y滿足2x2-2xy+y2=1,則x+2y的取值范圍是( ).

A.[-5,5] B.(-5,5)

解析由2x2-2xy+y2=1,得

所以由柯西不等式,得

故選C.

變式5已知正實數x,y滿足xy(x+2y)=16,則x+y的最小值為____.

解析令x+y=t,則由xy(x+2y)=16,得

(t-y)y(t+y)=16.

所以由三元均值不等式,得

所以f(y)的最小值為f(2)=12.

即t2的最小值為12.

變式6已知實數x,y滿足2y2-x2=4,則|x-2y|的最小值為____.

設與直線x-2y=0平行的直線x-2y+t=0與雙曲線2y2-x2=4相切,則|x-2y|的最小值即為兩平行線x-2y=0與x-2y+t=0的距離.

聯立x-2y+t=0與2y2-x2=4,得

2y2-4ty+t2+4=0.

由△=16t2-8(t2+4)=0,得t2=4.

所以|t|=2.

故|x-2y|的最小值為2.

在解題中,若對典型試題就題論題、淺嘗輒止,則是死水一潭.而重視問題的一題多解、一題多變,則能激活思維、提振士氣.唯有如此,才能逐步培養學生靈活多變的思維品質,提高其數學核心素養,培養其探索精神和創新意識,從而真正把對能力的培養落到實處[3].