從通性通法到圓錐曲線一類性質的推廣

黃志斌

(佛山市南海中學,廣東 佛山 528200)

2022-2023學年佛山市普通高中教學質量檢測(一)高三數學第21題是探究兩條線段之積是否為定值,該題的解答方法具有一般性,并能從通性通法得到橢圓的一個一般性結論,同時還可以推廣到雙曲線和拋物線,得到圓錐曲線的一類性質.在三新高考背景下,高考評價體系指出高考試題應“提倡通性通法,淡化特殊技巧”[1],因此,本試題雖然切入點難度不是很大,但體現了高考試題命制的價值導向,蘊含著豐富的數學思想和命題背景,起點低但落點高,對我們的教學和備考方向有很好的引導作用.

1 試題再現

(1)求橢圓C的方程;

(2)設過點F的直線PQ交橢圓于P,Q兩點,若直線PA,QA與直線l:x+4=0分別交于M,N兩點,l與x軸交于點K,則|MK|·|KN|是否為定值?若為定值,請求出該定值;若不為定值,則說明理由.

(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2),顯然直線PQ斜率不為0,則設PQ:x=my-1,聯立直線PQ與橢圓方程,得(3m2+4)y2-6my-9=0.

Δ=144(m2+1)>0,

由平面幾何知識易知

兩式相乘整理,得

2 問題和解法一般化

現把以上問題一般化,相應的解法也一般化就得到通性通法.

證明如圖1,設P(x1,y1),Q(x2,y2),顯然直線PQ斜率不為0,則設PQ:x=my-c,聯立直線PQ與橢圓方程,得

(a2+m2b2)y2-2mb2cy-b4=0.

圖1 性質1示意圖

Δ=4a2b4(m2+1)>0.

由平面幾何知識易知

兩式相乘整理,得

把上述命題1的條件作改變,“當過點P,Q與橢圓的右頂點作直線PB,QB,交右準線于S,T兩點,R為右準線與x軸的交點”,則有下面相應的結論:

圖2 性質2示意圖

圖3 性質3示意圖

3 推廣

證明如圖4,設P(x1,y1),Q(x2,y2),顯然直線PQ斜率不為0,設PQ:x=my-c,聯立直線PQ與雙曲線方程,得(m2b2-a2)y2-2mb2cy+b4=0.

圖4 推廣1示意圖

由平面幾何知識易知

①

兩式相乘整理得

同樣地,在拋物線中有如下性質:

推廣2 過拋物線y2=2px(p>0)焦點的直線交拋物線于P,Q兩點,分別過點P,Q與頂點作直線PO,QO,交準線于M,N兩點,K為準線與x軸的交點,則有|MK|·|KN|=p2.

則y1+y2=2mp,y1y2=-p2,

圖5 推廣2示意圖

兩式相乘整理,得

圓錐曲線是一個重要的數學模型,具有很多優美的幾何性質,從結論到推廣對數學運算也有較高的要求[2].由于拋物線只有一個頂點和一條準線,所以結論相對橢圓與雙曲線形式更簡潔.從問題和證明方法的整個過程來看,該性質都有一個共同的特點,就是直線PQ都過圓錐曲線的焦點,因此這一類性質也可以說是圓錐曲線焦點弦的結論.