相交弦中點所在直線過定點問題探究

馬宏酉 魏東升

(福建省廈門雙十中學漳州校區,福建 廈門 363107)

魏東升(1985.4-),男,江西省瑞金人,本科,從事高中數學教學研究.

本文用三種方法剖析了一道橢圓中兩條相交弦中點過定點的問題,一是求出中點坐標,利用這兩點建立直線方程,從而求出定點;二是設中點所在的直線方程,將兩個中點坐標代入,相減之后得出參數之間的關系,進而求出定點;三是不用聯立,直接斜率坐標化,從而求出定點.

1 兩相交弦的交點在坐標軸上

例1已知圓A:(x+1)2+y2=16,B(1,0),M為圓A上任意一點,線段BM的垂直平分線交AM于點N,點N的軌跡為W.

(1)求軌跡W的方程;

(2)過點B(1,0)的直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,k1+k2=-1,l1交W于點C,D,l2交W于點E,F,線段CD與EF的中點分別是點G,H,判斷直線GH是否過定點,若過定點,求出該定點,若不過定點,說明理由.

(2)方法1 (直接法)由題意設直線l1,l2的方程分別是y=k1(x-1),y=k2(x-1).

設C(x1,y1),D(x2,y2),

所以直線GH的方程為

方法2 (作差法)由題意設直線l1,l2的方程分別是y=k1(x-1),y=k2(x-1).

設GH所在直線方程為y=kx+b,則

①

②

由①-②,得-3(k1-k2)=4k(k1+k2)·(k1-k2)+4b(k1+k2)·(k1-k2).

由于k1≠k2,所以-3=4k(k1+k2)+4b(k1+k2).

③

④

即3x1-3x1·x2+4y1·y2=-4x2y1+4y1.⑤

3x2-3x1·x2+4y1·y2=-4x1y2+4y2.⑥

所以GH所在直線方程為

2 兩相交弦的交點不在坐標軸上

變式1 已知圓A:(x+1)2+y2=16,M為圓A上任意一點,線段BM的垂直平分線交AM于點N,點N的軌跡為W.

(1)求軌跡W的方程;

(2)過點B(1,1)的直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,k1+k2=-1,l1交W于點C,D,l2交W于點E,F,線段CD與EF的中點分別是G,H,判斷直線GH是否過定點,若過定點,求出該定點,若不過定點,說明理由.

解法1 (作差法)由題意設直線l1,l2的方程分別是y=k1(x-1)+1,y=k2(x-1)+1.

設GH所在直線方程為y=kx+b,則

由⑦-⑧,得-3(k1-k2)=k[4(k1+k2)·(k1-k2)-4(k1-k2)]+4b(k1+k2)·(k1-k2).

又因為k1≠k2,所以

-3=4k(k1+k2)-4k+4b(k1+k2).

因為k1+k2=-1,所以4b=3-8k.

⑨

⑩

即4y1y2-8y2-3x1x2+3x2=-4x1y2.

同理 4y1y2-8y1-3x1x2+3x1=-4x2y1.

-8(y2-y1)+3(x2-x1)=-4(x1y2-x2y1).

所以GH所在直線方程為

3 兩相交弦的交點坐標一般化

解法1 (作差法)設C(x1,y1),D(x2,y2).由題意,得直線l1方程為y=k1x+n-k1m,

設lGH:y=kx+φ,則

所以-mb2(k1-k2)=k[ma2(k1+k2)(k1-k2)-na2(k1-k2)]+a2φ(k1+k2)(k1-k2).

因為k1≠k2,k1+k2=t,則

因為k1+k2=t,

即-b2x1x2+b2x1m+a2y1y2-a2y1n=ta2y1x2-tma2y1,

-b2x1x2+b2x2m+a2y1y2-a2y2n=ta2y2x1-tma2y2.

所以b2m(x1-x2)-a2n(y1-y2)=-tma2(y1-y2)+ta2(y1x2-y2x1).

所以GH所在直線方程為

4 性質類比到雙曲線和拋物線

笛卡爾說過:“我所解決的每一個問題都將成為一個范例, 以用于解其他問題.”為了應對高考, 每天龐大的題量給學生的心理帶來了很大的負擔和壓力, 給學生減負于我們而言責無旁貸. 因此, 我們只有跳進題海, 善于對同一類問題做深入的研究和總結, 做到觸類旁通, 才能讓學生跳出題海, 才能在解題時化難為易、化繁為簡. 像對直線過定點這類問題進行解題教學時, 不僅可以讓學生在解題中直接獲益, 更可以培養其分析和解決問題的能力, 從而提升其數學的解題素養.