一道2023年競賽試題的解答與推廣

馬 嵐

(江蘇省鹽城市實驗高級中學,江蘇 鹽城 224006)

2023年上海市數學競賽的第11題是一道以三角形為背景的最值問題,主要考查正弦定理、余弦定理、輔助角公式、直線方程、復數、平面幾何等相關知識.試題簡潔且內涵豐富,很有新意,值得探究.本文呈現其解法,并給出推廣結論,供大家參考.

1 題目的呈現與解法探究

題目給定Rt△ABC,其中∠ACB=90°,BC=a,AC=b,點D,E,F分別在邊BC,CA,AB上,使得△DEF是正三角形,求△DEF面積的最小值.

解法1 如圖1,設∠CDE=θ,△DEF的邊長為x,則BD=a-xcosθ,∠BDF=120°-θ,∠BFD=60°+θ-B.

在△BDF中,由正弦定理,可得

評注解法1應用正弦定理,結合輔助角公式,利用正弦函數的有界性進行放縮,求出△DEF邊長的最小值,從而求得其面積的最小值.這種解題思想是三角形中有關最值問題的常用思路.

解法2如圖2,以C為坐標原點,CB為x軸,CA為y軸建立平面直角坐標系,則A(0,b),B(a,0).

設△DEF的邊長為t,∠FDB=θ,則∠EDC=120°-θ.

于是F(tcos(120°-θ)+tcosθ,tsinθ).

圖2 解法2示意圖

即bx+ay-ab=0.

由于點F在直線AB上,所以

btcos(120°-θ)+btcosθ+atsinθ-ab=0.

評注解法2利用△ABC是直角三角形,以C為坐標原點建立坐標系,使得點A,B落在坐標軸上,并容易求得直線AB的方程,再用點F在直線AB上求解△DEF邊長的最小值.解法2的思維難度與運算量要比解法1小,且過程簡潔.解三角形與解析幾何的結合能增強知識之間的融會貫通,拓展知識面,對提高解題能力具有重要意義.

解法3如圖2,以C為坐標原點,CB為x軸,CA為y軸建立平面直角坐標系,則A(0,b),B(a,0).

因為|ED|=|EF|,且∠DEF=60°,

z2=z1(cos60°+isin60°)

=(2m-2ni)(cos60°+isin60°)

即bx+ay-ab=0.

由于點F在直線AB上,所以

解法4如圖3,作△BDF的外接圓,作GB⊥BC,并交圓于點G,連接GD,GE.

圖3 解法4示意圖

因為∠GBD=90°,

所以GD是△BDF外接圓的直徑.

又因為∠DBF+∠GBF=∠DBF+∠A=90°,

所以∠GBF=∠A.

即得∠GBF=∠GDF=∠A.

于是∠GDE=∠A+60°.

設△DEF的邊長為x.

在△BDF中,由正弦定理,得

在△GDE中,由余弦定理,得

GE2=DG2+DE2-2DG×DEcos(A+60°)

評注解法4利用平面幾何性質,結合正、余弦定理求解,簡化了推理和運算過程,具有直觀、簡捷的特點.解三角形問題的本質是幾何問題,如果能恰當利用平面幾何知識,往往可以避開繁瑣的代數運算,使解決問題的過程得到簡化[1].

2 試題的推廣

證明如圖4,設正△DEF內接于△ABC,點D,E,F分別在邊BC,CA,AB上.設∠BFD=θ,則易得∠DEC=∠A+60°-θ,設△DEF的邊長為x.

圖4 推廣結論示意圖

在△DEC中,由正弦定理,得

又因為BD+DC=BC=a,故

前述的幾種解法,從不同的思維角度解答問題,各顯神通.學數學離不開解題,同時要注意的是,數學問題的解決僅僅只是一半,更重要的是在解題中要善于觀察、善于思考、善于轉化,只有這樣才能將零散的數學知識串聯起來,運用自如.