利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題的常見(jiàn)策略及其優(yōu)化

展 佳

(江蘇省沙溪高級(jí)中學(xué),江蘇 太倉(cāng) 215400)

利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題一直是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn).這類問(wèn)題綜合性非常強(qiáng),往往涉及函數(shù)與方程(組)、不等式與等式、三角函數(shù)等多種知識(shí),因此對(duì)于學(xué)生的思維要求非常高,運(yùn)算強(qiáng)度大,解法也是多種多樣.本文從學(xué)生最熟悉的參變量分離和含參討論這兩種方法出發(fā),根據(jù)不同學(xué)生的思維情況提出了不同的解題建議,根據(jù)不同學(xué)生作業(yè)中反饋出的知識(shí)盲點(diǎn)與思路的斷檔處,提出一定的優(yōu)化意見(jiàn),促使學(xué)生學(xué)有所得、得有所想、反思內(nèi)化,幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng),在考試中獲得更好的表現(xiàn).

1 典例賞析

題目已知函數(shù)f(x)=xlnx,當(dāng)x≥1時(shí),f(x)≤ax2-a恒成立,求a的取值范圍.

1.1 參變量分離法

解析①當(dāng)x=1,即0≤0,此時(shí)a∈R.

令h(x)=-x2lnx-lnx+x2-1,

所以h′(x)在(1,+∞)單調(diào)遞減.

所以h′(x)

即h(x)在(1,+∞)單調(diào)遞減.

所以h(x)

即g′(x)<0.

所以g(x)在(1,+∞)單調(diào)遞減.

反思此題參變量易分離,但分離后構(gòu)造的新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相當(dāng)復(fù)雜,需要多次求導(dǎo)方可達(dá)“彼岸”.這對(duì)于中等及偏下的學(xué)生是很不利的,經(jīng)過(guò)1～2次導(dǎo)數(shù)運(yùn)算,這些學(xué)生就喪失了解決此題的信心.那么,此題導(dǎo)數(shù)運(yùn)算為何如此復(fù)雜?追根溯源,是因?yàn)閤2lnx的存在.為了簡(jiǎn)化運(yùn)算,可以考慮將lnx前的多項(xiàng)式全部除掉,對(duì)此筆者做了下面的優(yōu)化.

即g′(x)<0.

下面求解過(guò)程同上,略.

分離參數(shù)是解決恒成立問(wèn)題的一種重要解題方法,往往也是學(xué)生解題時(shí)優(yōu)先考慮的方法,這個(gè)方法思維含量要求比較低,更具普適性.通過(guò)參數(shù)與主元的分離,達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁的目的.但在使用的時(shí)候往往存在兩個(gè)難點(diǎn):一是參數(shù)與變量能否順利分離,二是分離后得到的新函數(shù)的單調(diào)性以及最值能否順利解決[1].

1.2 含參討論法

解析原式等價(jià)于當(dāng)x≥1時(shí),xlnx-a(x2-1)≤0恒成立,求a的取值范圍.

令g(x)=xlnx-a(x2-1),得

g(1)=0,g′(x)=lnx+1-2ax.

令h(x)=lnx+1-2ax,則

①若a≤0時(shí),得h′(x)>0.

則g′(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增.

所以g′(x)≥g′(1)=1-2a≥0.

所以g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增.

所以g(x)≥g(1)=0.

從而xlnx-a(x2-1)≥0,不符合題意,舍.

即xlnx-a(x2-1)≤0恒成立.

反思對(duì)大部分高中生而言,分類討論是難點(diǎn),尤其是分類點(diǎn)的選擇,此時(shí)可以通過(guò)抓住一些特殊點(diǎn),比如利用端點(diǎn)值來(lái)縮小參數(shù)的取值范圍,減少不必要的分類討論情況.

g′(x)=lnx+1-2ax,

令h(x)=lnx+1-2ax,則

即xlnx-a(x2-1)≤0恒成立

優(yōu)化3由于g(1)=0,則g′(1)≤0.

令g(x)=xlnx-a(x2-1),得

g′(x)=lnx+1-2ax,

g′(1)=1-2a≤0.

在含參討論中運(yùn)用端點(diǎn)效應(yīng)常常起到事半功倍的效果.通過(guò)取函數(shù)定義域內(nèi)的某個(gè)特殊的值或某幾個(gè)特殊的值,先初步獲得參數(shù)的一個(gè)較小范圍即必要條件,再在該范圍內(nèi)討論,或去驗(yàn)證其充分條件,進(jìn)而解決問(wèn)題,用該方法解決恒成立問(wèn)題可以減少分類討論的類別,但并不是所有恒成立問(wèn)題均能通過(guò)端點(diǎn)效應(yīng)解答[2],這只是一種優(yōu)化手段.

1.3 數(shù)形結(jié)合法

解析顯然a>0.

因?yàn)閒′(x)=1+lnx,當(dāng)x≥1時(shí),f′(x)>0 ,所以y=f(x)在[1,+∞)單調(diào)遞增且f(1)=0.

令g(x)=a(x2-1),函數(shù)g(x)圖象開(kāi)口向上,在[1,+∞)單調(diào)遞增且g(1)=0.

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解決大題中的恒成立問(wèn)題,由于對(duì)圖象部分描述缺乏嚴(yán)格意義上的代數(shù)證明,或者說(shuō)理不夠清楚,在考試中存在扣分的現(xiàn)象,但對(duì)考生而言是能夠降低思維成本、縮短思考時(shí)間、提高得分效率的,此方法更適合小題目.

2 教學(xué)反思

恒成立問(wèn)題的解題策略除了上述所介紹的,還有同構(gòu)、放縮等,這些方法對(duì)于學(xué)生能力要求更高,題目的局限更大,考慮到所帶班級(jí)情況,筆者在這里就不再一一展示.解決恒成立問(wèn)題策略多樣,這就要求教師在教學(xué)過(guò)程中一方面要關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展情況,真正做到因材施教,有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)點(diǎn)評(píng),提出優(yōu)化的建議,繼而發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);另一方面要幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到不同方法之間的差異在于對(duì)條件結(jié)論的認(rèn)知區(qū)別,方法的選擇依賴對(duì)條件結(jié)論和自身能力的判斷.只有平時(shí)做好基礎(chǔ)知識(shí)的儲(chǔ)備和整理,方能在考試中大展拳腳.