一道求雙變量最小值問題的多視角探究

李春林

(甘肅省天水市第九中學,甘肅 天水 741020)

在雙變量或多變量約束條件下,求代數式的最值問題是近幾年高考、強基計劃、高中數學聯賽等考試中常見的一類題目.此類問題往往情境新穎,雙變量關系呈現多樣化特點.破解此類題的關鍵是結合雙變量代數式的基本特征,合理恒等變形,巧妙運算轉化,通過從不等式、函數、方程、三角函數、平面向量、導數等視角入手,進行分析探究[1].

1 試題呈現

2 多視角探究

視角1 先數式代換,再利用基本不等式

點評利用逆向思維進行數式代換,從形式上將問題轉化為能利用基本不等式的結構,從而將問題解決.“1”的逆代換是解題的關鍵一環.

視角2將分式條件適當變形化為整式,再利用基本不等式

所以xy-3x-2y=0(x>2,y>3).

所以xy-3x-2y+6=6.

即(x-2)·(y-3)=6.

點評分式化整式后,巧妙構造乘積為定值,結合基本不等式,問題得解.

點評將式中的y用x表示,從而將該問題轉化為函數問題.利用對勾函數的性質,即得結果.當然也可以用導數或基本不等式求得最小值[2].

視角4利用柯西不等式

點評將代數式適當變換,即可構造出適合柯西不等式的條件,從而迅速得解.

視角5引入參數t,令t=x+y,代入已知中得關于x的一元二次方程.由于該方程的兩實根都大于2,故由一元二次方程實根分布得解.

①

因為該方程的實根都大于2,

所以令f(x)=x2+(1-t)x+2t,則有

點評引入參數t,“二元”化“一元”,將問題轉化為含t的一元二次方程的實根分布問題得以解決[3].

視角6利用三角函數代換求值.

視角7根據平面向量的性質:a=(x1,y1),b=(x2,y2),a·b≤|a|·|b|,當且僅當x1=λx2,y1=λy2(λ>0)時,等號成立.

因為a·b≤|a|·|b|,

點評巧妙構造向量a,b,由a·b≤|a|·|b|,迅速得解.恰當構造平面向量a,b是解題的關鍵.

視角8利用函數的圖象,數形結合求解.

圖1 解法8示意圖

點評探究代數問題的圖形背景,利用其幾何圖形的性質,以形助數,數形結合,從而獲得直觀、簡潔的解法.

3 解后反思

雙變量最值問題是近幾年高考數學復習中出現頻率較高的一類題目,難度較大.而且此類試題在持續地變化與創新中,難度有增大的趨勢,針對本題筆者從不等式、函數、方程、三角函數、平面向量、導數等視角入手,進行分析探究.從上述解法中可以看到,求解特定代數關系背景下的雙變量最值問題,必須結合雙變量代數式的基本特征,認真分析,細心觀察,善于聯想,多角度思考,合理整合,巧妙應用,準確推理運算.探索解題途徑時,需舉一反三,靈活變通,將數學知識、數學能力、數學思維有機融合,有效應用于解題.在解題的過程中,要不斷總結解題的規律,剖析解法的本質,引導一題多解走向深入,從而形成良好的數學解題品質,提升數學核心素養.