多視角探究2022年全國高考甲卷理數第20題

賀鳳梅 李昌成

(1.新疆伊犁鞏留縣高級中學,新疆 伊犁 835400;2.新疆烏魯木齊市第八中學,新疆 烏魯木齊 830002)

題目(2022年全國高考甲卷理科數學第20題) 設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點D(p,0),過點F的直線交C于M,N兩點,當直線MD垂直于x軸時,|MF|=3.

(1)求C的方程;

(2)設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β,當α-β取得最大值時,求直線AB的方程.

1 總體分析

本題是2022年全國甲卷理科數學第20題,是本卷壓軸題之一,第(2)問是蝴蝶定理背景下的直線與拋物線的綜合題. 試題命題立意新穎,低起點、入口寬,適合多視角探究解答. 試題能充分考查學生的運算能力、轉化與化歸的能力,屬于難題. 筆者針對此題,擬從不同的角度進行分析解答,不斷優化解題思路,揭示問題的本質,先分享于此,以饗讀者.

2 試題解答

2.1 第(1)問解析

解得p=2,所以C:y2=4x.

2.2 第(2)問解析

y2-4my-4=0.

由根與系數的關系,得

y1+y2=4m,y1y2=-4.

①

設MD:x=ny+2,A(x3,y3),B(x4,y4),

y2-4ny-8=0.

由根與系數的關系,得

y1+y3=4n,y1y3=-8.

而當m<0時,α-β無法取得最大值.

所以直線AB方程為

評注此問的顯著特點是有很多的點和線,但仔細觀察發現這些點和線相互關聯,只需定好其中一個點,就可以很好地聯系其他的點和線,容易尋求相同的結構,利用同一法求解,簡化運算,解法1很好地詮釋了這一思路和解答過程.

即(y1-y3)(y1y3+8)=0.

顯然y1≠y3.

因為N,D,B三點共線,則kND=kBD.

同理可求得y2y4=-8,

設直線MN的方程為x=my+1(m≠0),

由解法1中①式可知

y1+y2=4m,y1y2=-4.

故直線AB方程為

評注此解法的特點在于根據三點共線,斜率存在時,利用斜率相等找到點的縱坐標之間的內在聯系,進而找到兩直線MN與AB斜率之間的關系,借助于基本不等式,求出當α-β最大時kAB的值,利用取等條件得出m的值.進而求出y1,導出y3,再求出x3,即得點A的坐標,最后求出直線AB的方程.只要理清解題思路,加上適當的計算能力及技巧,解題可以順利進行.

化簡整理,得

(y1-y2)(y1y2+4)=0,且y1≠y2.

所以y1y2=-4.

②

即(y1-y3)(y1y3+8)=0.

因為y1≠y3,故y1y3=-8.

③

同理y2y4=-8.

④

由②③,得y3=2y2,

由②④,得y4=2y1,

所以kMN=2kAB,tanα=2tanβ.

要使α-β最大,必有α>β,且α,β均為銳角,

所以y3y4=-4n.

而y3y4=4y1y2=4×(-4)=-16,

所以n=4.

所以2n·(m2-1)-2m·(n2-1)=0.

化簡整理,得

(m-n)(mn+1)=0,且m≠n.

所以mn=-1.

同理由D,M,A和D,N,B三點分別共線求得am=-2,bn=-2.

所以kMN=2kAB,tanα=2tanβ.

評注此解法用到了拋物線的參數方程,求解更簡潔,教材對于拋物線的參數方程僅在課本選修4-4中簡單提及,學生不一定熟練掌握,需要老師們留心.

3 總結升華

通過研究高考真題,發現在復習備考的征途中,特別是對于一些有文化背景的題,教師要有足夠的耐心,深度解析各種方法,讓學生在比較中開拓思路.因此,我們要充分利用好高考經典試題,從不同視角、不同解法深度解讀,長此以往,一定能提升復習備考的效果[2].