因對稱而精彩 因和諧而美麗
——例談以彈簧振子運動模型為載體的問題分析策略

許冬保

(江西省九江市第一中學,江西 九江 332000)

趙凱華先生在《新概念物理教程·力學》[1]中指出:“人們習慣于按照物質運動的形態,把物理學分成力(包括聲)、熱、電、光等子學科.然而,某些形式的運動是橫跨所有這些學科的,其中最典型的要算振動和波了.”基于此,在老高考(選考+必考)命題中,必考試題中涉及振動模型的問題就很正常了,新高考中振動和波(全國卷及部分自主命題省市)屬于必考內容.文章兼顧新老高考復習,基于物理觀念的視角對彈簧振子簡諧運動模型的應用作些分析,期望為考生備考提供助益.

1 彈簧振子運動模型的建構與表征

眾知,凡一個物體受到跟相對平衡位置的位移成正比,方向與位移相反的回復力作用下的振動,叫做簡諧運動.簡諧運動是一種最基本、最簡單的運動.

1.1 模型建構

如圖1,輕彈簧與小球連接的系統構成彈簧振子.彈簧左端固定,小球穿過水平光滑桿.當小球位于O點時(平衡位置),彈簧彈力F為零.若使小球偏離O一段距離x,由靜止釋放小球,則小球受力F作用,在O點附近(B、C間)持續地振動起來.選O為坐標原點,以向右為正方向,則有

F=-kx

顯然,彈簧振子的振動是簡諧運動.

圖1 彈簧振子的簡諧運動模型

1.2 運動方程

理論表明:勻速圓周運動的投影運動是簡諧運動.在如圖2所示的參考圓中,質點P沿逆時針方向做勻速圓周運動,則P在x軸上的投影運動即為簡諧運動.可以方便地得到以下規律.

小球離開平衡位置的位移x隨時間t變化規律為

x=Acos(ωt+φ0)

式中,A、ω、φ0分別表示振幅、圓頻率與初相,且為常量.

圖2 參考圓分析簡諧運動

P的速度及加速度在x軸上的分量分別為

v=-Aωsin(ωt+φ0);a=-Aω2cos(ωt+φ0) .

x、v、a對應的表達式,分別表示簡諧運動的位移方程、速度方程及加速度方程.

1.3 運動周期

由描述x、a的方程知a=-xω2.結合牛頓第二定律,有F=-xmω2

該式與F=-kx相比較,有k=mω2.可得振動的周期公式

1.4 運動能量

不計任何能量損耗,彈簧振子的振動是簡諧運動,振動系統的機械能守恒.因此,某時刻振動系統的總能量為

2 應用分析

如上所述,彈簧振子的振動是簡諧運動,其x、v、a等物理量均隨時間t按正弦或余弦規律變化,并且對平衡位置具有時空對稱性,對稱性特征彰顯振動的美麗與和諧.以彈簧振子簡諧運動為載體的物理問題,可以由運動觀念、能量觀念、動量觀念、圖像觀念等視角進行分析.

2.1 運動觀念分析

(1)h的大小;

(2)0.6 s內物塊運動的路程;

(3)由位移y的振動方程,寫出相應的速度及加速度隨時間變化的關系式.

圖3 振動與落體運動模型

2.2 能量觀念分析

例2水平面上有一彈簧振子,不計彈簧質量及任何阻力,振子作振幅為A的簡諧運動.若小球在O點的速度為v0,振動中某點P到O點的位移為x.試求

(1)振子在P點的速度v及振動的周期;

(2)定性畫出v隨x變化的函數圖像.

2.3 動量觀念分析

例3如圖5,傾角θ=30°足夠長的光滑斜面固定在水平面上,兩個物體A、B通過細繩及輕彈簧連接于光滑輕滑輪兩側,B的質量為m,開始時用手按住物體A,物體B靜止于地面,滑輪兩邊的細繩恰好伸直,且彈簧處于原長狀態.松開手后,當B剛要離開地面時,A恰達最大速度v,空氣阻力不計.

圖5 斜面上的振動問題

(1)求A的質量M;

(2)A下滑過程中彈簧最長時,A的速度v1為多少?

2.4 圖像觀念分析

例4如圖6,某輕質彈簧勁度系數為k,彈簧下端固定在地面,上端固定連接一個輕質的小托架.質量為m的小球從離托架一定高度處由靜止開始自由下落,小球恰好落到托架中心位置,然后經過一段時間又回到初始下落位置.彈簧始終在彈性范圍內,不計空氣阻力.

圖6 豎直方向的振動問題

(1)若小球運動到O點時速度最大,則以O點為位移起點(小球在任意位置P的位移為OP),設豎直向下為正方向,作出小球在上述運動過程中的加速度a隨位移x變化的a-x圖像(特殊點需要標出坐標)﹔

(2)若小球在上述運動過程中的最大加速度為2g,利用a-x圖像,求小球初始下落位置距小托架的高度.

答案(1)

圖7 小球運動的a-x圖像

物理觀念是從物理學視角形成的關于物質、運動與相互作用、能量等的基本認識,是解決實際問題的基礎[2].在某一個具體問題的分析中,所涉及到的物理觀念其實并非單一,文中的分類是基于問題解決的核心觀念出發的.

由于受傳統考試大綱的局限,彈簧彈性勢能的表達式并不作為考查的內容,因此在實際教學中,往往回避.若將彈簧彈性勢能的表達式作為科學探究的內容,在核心素養理念下,從線性力做功的角度(例2評述)或通過圖像等手段均可導出彈簧彈性勢能表達式,這有利于學生從能量觀念的視角深度理解彈簧的本質.另外,在當今高校強基測試中,明確要求能夠掌握彈簧彈性勢能的表達式并能進行相關的計算.因此,在教學中建議將彈簧彈性勢能表達式列為教學目標的內容.