利用費馬原理 求解最值問題

王偉民

(安徽省太和縣宮集鎮中心學校,安徽 太和 236652)

滿足什么條件“時間最短”“做功最少”“造價最低”等問題是物理研究和生活中常見的最值問題.而費馬原理說的是光在介質中兩確定點之間傳播時,總是沿光程(即時間)最短的路徑傳播,涉及到“時間最短”問題.如果對光的折射規律進一步推廣,還可以推理出與行程問題有關的其他量存在最值的條件[1].所以,利用費馬原理可以比較方便地解決一些相關的確定一些量最值的實際問題.

1 利用費馬原理證明光的折射定律

利用費馬原理,很容易證明“在同種均勻介質中光沿直線傳播”、光在反射時“反射角等于入射角”等光學規律.光在兩種介質分界面發生折射時,折射角與入射角間的定量關系:“折射角與入射角正弦之比等于光在兩種介質中傳播速度之比”這一規律,也可以通過費馬原理進行邏輯推導.

如圖1所示,設l是兩種介質的分界面,A、O分別是兩種介質中的兩定點,一條光線由A點發出,經界面B點折射后傳播至O點.以O為坐標原點,平行于分界面的方向為x軸建立平面直角坐標系,設A點坐標為A(a,b),光在兩種介質中的傳播速度分別是v1和v2,入射角和折射角分別是α和β,若O點到分界面的豎直距離為h(h

圖1 光在兩種介質中折射示意圖 圖2 落水及施救人員初始位置圖示

由圖可知,光從A點出發經B傳播到O需要的時間為:

為確定時間的最小值,將時間t對x求導可得:

令t′=0可得:

實際上,我們上面利用費馬原理推導光的折射定律的推理過程中,得出的等式(1)是一個關于B點橫坐標x的一元方程,而實際問題需要在某個變化過程中求相關量的最大值或最小值時,往往需要確定類似光的折射問題中折射點位置的其他相關問題中“轉折點”的位置,所以,確定方程(1)的解就顯得尤為重要.

2 費馬原理在行程問題確定時間最值時的應用

例1 如圖2所示,一幼童不慎落入河水中的B點,岸上的人員在A處聞訊后,迅速跑步前去救援,已知救援人員得到信息時距離河岸30 m,落水者距離河岸24 m,二人水平距離為47 m,若救援人員在岸上跑步的最大速度和水中游泳的最大速度分別是8 m/s和2.8 m/s,問救援人員最短在多長時間內可以到達落水幼童處?(結果保留分數)

解析救援人員有無數種救援路徑可以選擇,最容易想到的是圖3所示的幾種情形,由以上分析可知,這些都不是救援人員按最大速度到達落水幼童位置時間最短的行走路線,救援人員行走和游泳總時間最短的路徑應該滿足費馬原理,即光的折射規律[2].

圖3 幾種常見施救路徑圖示 圖4 相關角度和距離圖示

3 費馬原理在其它問題確定最值時的應用

例2如圖5所示,A、B兩城之間有一塊寬度為24 km的矩形沼澤地,兩城到沼澤地邊緣的垂直距離分別是18 km和6 km,兩城在平行于沼澤地邊緣方向上的距離是39 km.現欲在兩城市之間修建一條高速公路.經測算陸地上公路的造價是0.7億元/公里,沼澤地上公路造價是2億元/公里,請設計公路的走向,使總造價最低,并求出最低總造價.

圖5 兩城之間地況數據圖示 圖6 兩城之間修建公路示意圖

解得:x=8

因此,整個工程的最小總造價為P最小=s陸地a陸地+s沼澤地a沼澤地=40×0.7+25×20億元=78億元

答:修建公路的最低總造價為78億元.

由上面的這些例子可以看出,費馬原理不僅可以解決行程問題中特定情況下時間的最小值,也可以解決與行程問題類似的其他跟路程相關的有關量的最值[4].