立足基本圖形 培養直觀想象素養
——以2023年高考全國卷立體幾何試題為例

姚振暉

(福建省永春美嶺中學,福建 泉州 362619)

直觀想象是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段[1]. 直觀想象要求考生能夠借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化,利用空間形式特別是圖形,構建數學問題的直觀模型,探索解決問題的思路[2]. 高考數學中直觀想象素養的考查要求為:能根據條件畫出正確的圖形,根據圖形想象出直觀形象;能正確分析圖形中的基本元素及其相互關系;能對圖形進行分解、組合;會運用圖形等手段形象地揭示問題的本質[3].

1 正方體模型

例1(2023年全國甲卷理科15題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為CD,A1B1的中點,則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數為____．

解析不妨設正方體棱長為2,EF中點為O,取AB,BB1中點G,M,側面BB1C1C的中心為N,連接FG,EG,OM,ON,MN,如圖1所示.

圖1 正方體

同理,根據正方體的對稱性知,其余各棱和球面也只有1個交點,所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數為12.

評析通過直觀想象與簡單的數學運算,可以確定以EF為直徑的球的球心O也是正方體ABCD-A1B1C1D1的中心O,所以,點O到各棱的距離均等于OE,因此以EF為直徑的球的球面與正方體的棱共有12個公共點.

2 三棱錐模型

(1)證明:EF∥平面ADO;

(2)證明:平面ADO⊥平面BEF;

(3)求二面角D-AO-C的正弦值.

圖2 例2示意圖

評析先通過解三角形確定F為AC的中點,利用中位線的性質得到EF∥PC∥DO,再根據線面平行的判定定理可以得出第(1)問的結論. 第(2)問通過圖形判斷要證明的核心結論是AO⊥平面BEF,所以要在平面BEF中找到兩條相交直線和AO垂直,結論的證明為第(3)問建立空間直角坐標系做鋪墊.

3 圓錐模型

例3(2023年新課標Ⅱ卷第9題)已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,AB為底面直徑,∠APB=120°,PA=2,點C在底面圓周上,且二面角P-AC-O為45°,則( )．

A．該圓錐的體積為π

評析本題以多選題的形式全面考查了圓錐的內容. 如圖3所示,通過二面角P-AC-O為45°可以確定點C在底面圓周上的位置. 再根據圓錐的母線長為2,可以得到圓錐的底面圓半徑和高,為后面的計算奠定基礎.題目的四個選項設問逐次遞進,前面的選項為后面的選項提供條件.

圖3 圓錐

4 三棱柱的外接球模型

例4(2023年乙卷文科第16題)已知點S,A,B,C均在半徑為2的球面上,△ABC是邊長為3的等邊三角形,SA⊥平面ABC,則SA=____．

圖4 三棱柱

評析本題雖然是考查三棱錐的外接球問題,但由于SA⊥平面ABC,所以可把三棱錐S-ABC放到三棱柱SMN-ABC中,這樣,就將三棱錐的外接球轉化為了三棱柱的外接球. 因為三棱錐的外接球形式多樣,但三棱柱的外接球模型比較簡單,如圖4,易知三棱柱的外接球的球心O就是兩個底面三角形外接圓圓心的中心,而AO1就是△ABC外接圓的半徑,利用正弦定理可輕松得到.

5 正方體的內切球模型

例5(2023年新課標Ⅰ卷第12題)下列物體中,能夠被整體放入棱長為1(單位:m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內的有( ).

A.直徑為0.99 m的球體

B.所有棱長均為1.4 m的四面體

C.底面直徑為0.01 m,高為1.8 m的圓柱體

D.底面直徑為1.2 m,高為0.01 m的圓柱體

解析對于選項A,如圖5,因為正方體的內切球(與各個面都相切)的直徑為1,且1>0.99,所以A正確.

圖5 正方體內切球 圖6 正四面體放入正方體內

圖7 正方體內放不下圓柱

圖8 正方體的截面 圖9 正六邊形

評析以正方體的內接幾何體(包括球、正四面體、圓柱等)為情境,考查正方體的棱長、面對角線的長和體對角線的長的關系等. 結合組合體的位置關系,利用空間問題平面化,通過分析選項中各個幾何體與正方體的棱長、面對角線和體對角線長的數量關系迅速找到破解此題的切入點.

縱觀2023年高考全國卷的立體幾何試題,基本上都是以基本圖形為模型,考查線面關系、外接球、內切球以及截面問題. 這些試題在考查數學運算核心素養和邏輯推理核心素養的同時,更全面考查了考生的直觀想象核心素養. 平時要注意積累一些常見幾何體的內切和外接模型,以及熟悉空間幾何體的截面問題.