一道課本習題的多解、推廣與應用

顧美娟

(江蘇省啟東市東南中學,江蘇 啟東 226200)

課本是教學之根本,也是考題之源頭.很多高考題和競賽題都源自課本習題的改編或者延伸,因此,深度探究課本習題對教學及其考試備考來說是非常重要的.

1 課本習題

題目(2019年人教A版《數學必修第二冊》[1]53頁第15題)△ABC的三邊分別為a,b,c,BC,CA,AB邊上的中線分別記為ma,mb,mc,利用余弦定理證明

2 解法探究

證法1 如圖1,對△ABD利用余弦定理,得

同理, 可得mb,mc.

圖1 三角形及其中線

證法2 如圖1,對△ADB和△ADC利用余弦定理,得cos∠ADB+cos∠ADC=0.

即2AD2+2DB2-AB2-AC2=0.

同理可得mb,mc.

證法3 無論是銳角三角形(圖2)還是鈍角三角形(圖3),都有

AB2=AH2+(BH)2=AD2-DH2+(BD+DH)2=AD2+BD2+2BD·DH,

AC2=AH2+CH2=AD2-DH2+(DH-DC)2=AD2+DC2-2DC·DH.

圖2 銳角三角形 圖3 鈍角三角形

兩式相加,得

AB2+AC2=2(AD2+BD2).

同理可得mb,mc.

同理可得mb,mc.

同理可得mb,mc.

圖4 建立坐標系

3 習題推廣

設△ABC的三邊分別為a,b,c,BC,CA,AB邊上的中線分別記為ma,mb,mc. 經過探究,得到如下的結論.

命題3ma=mb?a=b.

命題4△ABC是等邊三角形?ma=mb=mc.

證明由命題3可知,△ABC是等邊三角形?a=b=c?ma=mb=mc.

命題5 設△ABC的面積和半周長分別為S,p,則mambmc≥pS.

≥p(p-a).

證明由中線公式與余弦定理,得

=b2+c2+2bccosA

三式相加,即得證.

4 在競賽中的應用

解析記M為AC的中點,由中線公式得

4BM2+AC2=2(AB2+BC2).

由余弦定理,得

于是

通過一道課本習題的證明,復習鞏固了解三角形常用的方法,即余弦定理、勾股定理、向量法和坐標法. 進一步,我們利用課本習題的結論(即中線公式)可以得到很多漂亮的結論,也可以解決競賽中的一些問題.