基于改進粒子群算法的平面五桿機構尺寸優化

楊智棠

（廣西機電技師學院，廣西 柳州 545005）

0 引言

平面五桿機構廣泛應用于機械制造、工程、航天航空等領域，是各種設備傳動部件的重要組成部分，由于五桿機構為兩自由度機械運動，相比起四桿單自由度運動，具有運動端點位置的不確定性以及各關節點動力學的復雜性的特點，導致機構的運動穩定性、傳力性能、位置精度難以得到精確的保證。

針對平面五桿機構的優化問題，目前常用的方法有多種基于智能算法的機構優化方法，常用的機構優化方式有性能圖譜法和目標函數法[1]。性能圖譜法[2]根據最優目標選取設計參數，從而得到優化的機構。目標函數法是通過目標函數、設計變量和約束條件建立數學模型，然后采用復合形法、增廣拉格朗日乘子法、智能優化算法或Adams 優化模塊獲得，得到最終設計參數，即得到優質的機構尺寸。如章永年[3]采用多目標優化算法對五連桿足式機器人腿部機構進行了優化設計，王洪濤[4]利用諧波-多目標遺傳優化方法對五桿機構進行了結構的改進。李學剛[5]提出基于傅氏級數的平面五桿機構計時軌跡綜合的代數求解新方法，該方法通過機構尺寸與連桿曲線諧波參數間的函數關系獲得結構的尺寸優化求解。但目前大多數研究都集中到采用單一的目標參數對五桿機構進行優化，或者是以剛度和動力學為目標函數進行的多目標優化，缺乏以桿件的運動狀態、運動學及動力學穩定性作為目標函數的綜合多目標優化。

鑒于此，本文提出針對平面五桿機構運動穩定性差，位置精度難以保證的問題，構建了一套基于多目標函數的平面五桿機構結構尺寸優化的設計模型。

1 五桿機構的運動學和動力學理論模型

圖1 為平面五桿機構的示意圖，A點為五桿機構的絕對坐標的原點，l1、l2、l3、l4、l5分別為各個桿件長度，θ1，θ4分別為原動件的夾角，ω1，ω4分別為原動件的角速度，α1，α4分別為加速度，位置C點的位置坐標為（xC，yC），速度為加速度為

圖1 為平面五桿機構示意

1.1 位置分析

根據封閉矢量法的原理得以下式子：

將各向量投射在直角坐標系上，可以得到C點的位置方程：

將式（2）移項后平方求和，得

式中：A0= 2l（2xD-xB），B0= 2l（2yD-yB），C0=l22+

解式（3）可得：

式（4）中的“+”，“-”表示在AB和DE桿處在同一個位置時，C的位置有兩種可能。

將θ2代入式（1）可求得C點的位置xC，yC，并且可以求得：

1.2 速度分析

式（2）對時間t求導得

則C點的速度,C為：

1.3 加速度分析

對式（5）求導，得

則C點的加速度、為：

2 優化設計建模

根據五桿機構的運動學以及動力學分析，桿的長度是影響工作點運動路徑、運動速度、加速度的主要因素，為了實現運動的平穩性，需要求出桿長的最佳長度。為了實現此目標，本文在優化過程中，以桿長為設計變量，以速度雅克比矩陣的條件數、速度變動、加速度變動作為綜合的優化目標函數，通過迭代到滿足設定的迭代次數作為判定標準，實現求解最優桿長的目的。

2.1 設計變量

對于五桿機構，以桿長作為設計變量，在進行設計時，給出初始桿長的初值，即設計變量為，l1，l2，l3，l4，l5，各桿長的初值以及允許變化的范圍見表1。

表1 設計變量

2.2 目標函數

（1）速度雅克比矩陣的條件數

平面五桿機構的速度雅克比矩陣

令θ1、θ4分別為已知輸入變量，則式（9）中2、θ3為位置變量，于是有

由此，可以得到平面五桿機構的雅克比矩陣為：

并聯機構具有位形奇異的固有屬性，其雅克比矩陣容易呈現出病態特征，容易導致并聯機構的失真不可控，本文中的雅克比條件數可以定義為：

并聯機構的雅克布條件數隨著機構位形的不同而存在差異，根據雅克比條件數的大小來判斷機構的運動狀態的好壞，其取值范圍為1 到正無窮，當雅克比條件數等于1 時，其運動狀態最佳，當雅克比條件數趨于無窮大時，機構的狀態處在奇異的不可控制狀態。為了方便優化求解，將雅克比條件數作為變量構成多目標優化其中的一個目標g1，式子如下：

（2）速度變動

為了提高五桿機構的運動穩定性，應降低作用點C在工作階段的速度波動，速度變化的大小可以用速度的絕對值表示，經歸一化處理后，得到速度變動的目標函數g3的表達式為：

（3）加速度變動

為了提高五桿機構動力穩定性，應該降低C點在工作過程中加速度的增量，使得產生的慣性力比較的平穩，同時也使得傳力過程比較的穩定。經過歸一化處理后，可以得到加速度的變動目標函數F4的表達式為：

對五桿機構機構進行優化，要綜合考慮其幾何約束、行程約束和性能約束等。為此建立五桿機構的目標優化目標

式中：Wi是多目標函數gi的權值，在此次優化中，W1=0.4，W2= 0.4，W3= 0.4。權值可以根據具體情況調整大小。

2.3 約束條件

在本文中，選用的五桿機構約束條件如下：

在式（19）中，第一個方程第二個方程的組合表示機架小于主動桿或者連桿的0.5 倍，第三個方程表示兩連桿之和大于其它3 桿之和，使得機構能做曲柄運動。

2.4 改進的粒子群優化算法

粒子群優化算法[6]是一種基于迭代的優化算法。粒子群算法開始產生一組隨機的粒子群體，通過搜索和迭代找到最佳值。粒子群優化算法通過迭代來更新粒子的位置和速度，其計算表達式為：

其中，xid（t+ 1）為第i個粒子在第t+1 迭代中第d維上的速度；w為慣性權重；η1，η2為加速常數；rand()為0～1 之間的隨機數。在該算法中加入了一次遞減慣性權重函數，在搜素過程中可以對w進行動態的調整，其表達式為：

根據式（20）（21）所示的改進粒子群算法原理編制程序對式（18）（19）進行優化求解，為高優化效率，本文將粒子群的維度定為5 個，即優化變量為x= [l1，l2，l3，l4，l5]。 慣性權重最大值wmax= 0.8，慣性權重最小值wmin= 0.6，加速常數η1，η2分別等于1，最大迭代次數Tmax= 300，N粒子個數50，粒子群優化算法的流程圖如圖2 所示。

圖2 粒子群優化算法流程

3 優化設計結果分析

根據上述的分析流程進行迭代計算，得到五桿機構的尺寸優化結果，如表2 所示。

表2 優化設計結果

根據優化前和優化后的平面五桿機構的尺寸，選擇10 個時刻的速度和加速度的變動分析，從圖3 可以看出，優化后的速度曲線相對平滑，波動較少，同時從圖4 也可以看出，優化后的加速度曲線的變動變小，說明機構的運行比優化之前更加的平穩可靠。

圖3 優化前后C 點速度變化曲線

圖4 優化前后C 點加速度速度變化曲線

4 結語

為了使平面五桿機構獲得更好的性能，本文針對平面五桿機構運動穩定性差，位置精度難以保證的問題，構建了一套平面五桿機構的結構尺寸優化的設計模型。通過根據封閉矢量法的原理構建五桿機構的運動學模型，獲得五桿結構工作位置點的速度和加速度模型。然后基于改進的粒子群算法對五桿機構的桿件進行了優化，實現了五桿機構性能的提高，本文獲得了以下成果：

（1）建立了平面五桿機構的運動學和動力學模型，采用封閉矢量法獲得了五桿機構工作點的速度和加速度求解模型，為下一步的尺寸優化提供基礎。

（2）根據五桿機構的運動學和動力學模型，構建速度變動，加速度變動，雅克比條件數三個優化目標，并提出了跟全面的約束條件。

（3）利用改進的粒子群算法對五桿機構進行尺寸優化，結果表明，該方法可以實現五桿機構的尺寸的多目標優化，獲得了更好性能的五桿機構。