磁懸浮系統的相位超前校正控制器設計

藍昕雨，鐘志賢，李先瑄，陳金華

(桂林理工大學 機械與控制工程學院，廣西 桂林 541006)

0 引 言

磁懸浮系統在許多領域都具有很強的實用性[1-5], 在醫學上可用作磁懸浮人工心臟泵、 在機床中可用于超高速銑削、 在計算機領域中可作為硬盤光盤轉子支撐、 在石油與天然氣工業中被應用于低溫渦輪膨脹機等, 隨著磁懸浮及控制技術的發展, 磁懸浮系統的應用越來越廣泛。

在實際的磁懸浮控制系統中, 時滯是不可避免的, 并且該問題會嚴重影響磁懸浮控制系統的穩定性[6]。針對磁懸浮系統的時滯問題, 眾多學者做了許多研究工作[7-10]。Soni等[11]采用帕德近似法對磁懸浮系統反饋信號的時滯值作線性逼近, 通過有時滯的數值模擬驗證動力學模型的穩定性, 為時滯磁懸浮系統的應用提供了思路。Sun等[12]構建了具有時滯補償的滑模面, 采用雙層神經網絡及自適應方法線性逼近, 提出了有限時間自適應跟蹤控制器, 利用李雅普諾夫法驗證了所提控制器的有效性, 為時滯磁懸浮系統控制器的深入研究提供了理論依據, 并在文獻[13]中針對磁懸浮系統的時滯問題提出了基于黎卡提法與滑模控制相結合的自適應魯棒控制器, 通過仿真和實驗表明所提方法能夠有效抑制磁懸浮系統的時滯。鄭凱[14]建立了磁懸浮系統的時滯動力學模型, 并使用時滯控制律設計了鎮定控制器, 使磁懸浮系統的時滯得到了有效抑制。

以上方法從控制系統建模和控制器設計兩方面推進了磁懸浮控制系統時滯的研究進程, 但存在著如下問題: 1)控制算法過于復雜且部分控制算法依賴于精確的數學模型, 難以應用于實際的控制系統; 2)對磁懸浮系統的時滯等不確定性加以描述后, 基于模型設計的控制器的階數會增加, 控制效果難以符合預期設定。

針對以上問題, 本文將相位超前控制方法應用于磁懸浮球系統。相位超前控制方法是控制系統中用于修正系統伯德圖的手段, 其優點是能根據不同系統的伯德圖設置不同的參數, 在不變更系統幅值的條件下減弱系統相位的滯后, 無須提高控制器的階數就能獲得良好的控制效果。除此之外, 相位超前校正具有抑振的特點[15-16]。基于此, 首先建立單自由度磁懸浮系統的數學模型, 然后根據磁懸浮系統的相位裕度設計相位超前校正控制器, 進而采用伯德圖與奈奎斯特圖驗證相位超前校正控制器的穩定性, 最后開展了仿真分析和懸浮實驗研究, 以期設計出具有響應速度快、 抖振小的相位超前控制器等。

1 磁懸浮球系統的數學模型

由圖1所示, 磁懸浮實驗系統由鋼球、 電磁繞組、 功率放大器、 激光傳感器、 驅動電路以及上位機構成。磁懸浮球系統的傳遞函數為

圖1 磁懸浮系統結構圖[17]Fig.1 Structure diagram of magnetic levitation system

(1)

式中: 系數A=i0/2g;g為重力加速度, m/s2; 系數B=i0/x0;i0表示平衡電流, A;x0表示鋼球處于平衡狀態時鋼球質心與電磁鐵磁極間的氣隙, mm;Ka代表功率放大器的增益[17]。

磁懸浮球系統的物理參數如表1所示。

表1 磁懸浮球各項物理參數

將表1中的物理參數代入式(1), 得到單自由度磁懸浮系統的傳遞函數如下:

(2)

2 相位超前校正控制器的設計

磁懸浮閉環控制系統的方框圖如圖2所示。其中, 被控系統G0(s)的伯德圖如圖3a。設校正后的磁懸浮系統的相位裕度為50°, 穩態誤差系數Kp為5。由于相位超前校正控制會讓系統產生幅值衰減的影響, 故串聯放大倍數為Kc的功率補償放大器來消除此影響, 則相位超前校正控制器

圖2 校正后的磁懸浮閉環控制系統框圖Fig.2 Block diagram of corrected magnetic suspension closed-loop control system

圖3 磁懸浮系統的伯德圖Fig.3 Bode diagrams of magnetic levitation system

(3)

計算出式(3)中的增益Kcα, 根據初始設定的穩態誤差, 有

G1(s)=KcαG0(s);

(4)

(5)

添加增益后的開環系統G1(s)的伯德圖如圖3b所示。系統的相位裕度為0°, 系統需要補償50°的相位裕度, 但增加超前校正裝置會使幅值曲線發生變化, 增益的交界頻率會往右移, 需要補償系統的相位滯后增量, 故在原來基礎上增加5°。因此需要的最大相位超前量φmax近似等于55°, 有

(6)

幅值的變化為

(7)

其中, 轉角頻率ω=1/(αT)。

由圖4知, 被控系統的響應速度隨著剪切頻率ωc的增大而變差, 但剪切頻率過大會導致系統性能變壞, 在相位裕度固定的情況下, 合適的剪切頻率能讓系統的控制性能更優。

圖4 不同剪切頻率設置下相位超前校正器的控制效果Fig.4 Control effect of phase advance corrector under different cut off frequency

綜上, 針對單自由度磁懸浮系統所設計的相位超前校正控制器為

(8)

校正后磁懸浮系統的伯德圖如圖3c所示。相位裕度約為55°, 符合設計要求。由其奈奎斯特圖(圖5)可知, 包圍(-1, 0)點有一次負穿越, 并且系統有一個開環右半復平面極點, 故系統穩定。

圖5 校正后磁懸浮系統的奈奎斯特圖Fig.5 Nyquist diagram of corrected magnetic levitation system

3 仿真與實驗分析

分別通過相位超前校正控制器與Smith-PID控制器對控制系統進行仿真實驗, 如圖6所示。其中, PID控制器的具體控制參數為Kp=15、Ki=0.000 1、Kd=32、 采樣頻率=0.001。

圖6 磁懸浮系統相位超前校正與Smith-PID仿真程序對比Fig.6 Comparison of phase advance correction and Smith-PID simulation programs for magnetic levitation system

圖7為相位超前校正控制器與Smith-PID控制器階躍響應曲線對比, 相位超前校正控制的系統相較于Smith-PID控制的系統階躍響應速度加快, 超調量減小。

圖7 相位超前校正控制器與Smith-PID控制仿真階躍響應曲線對比Fig.7 Comparison of step response curves between phase advance correction controller and Smith-PID control simulation

在Matlab/Simulink中建立單自由度磁懸浮系統的相位超前校正控制器如圖8所示, 相位超前校正控制器在單自由度磁懸浮系統實驗臺完成實時懸浮的實驗如圖9所示。可知, 鋼球的懸浮位置δ基本穩定在7.8×10-3m處, 根據系統的比例關系換算, 與圖8最初給定的位移一致, 滿足預期目標。

圖8 相位超前校正控制器實時控制磁懸浮球程序Fig.8 Program for real-time control of magnetic levitation ball by phase advance correction controller

圖9 系統穩定時的磁懸浮球Fig.9 Suspension of magnetic levitation ball in stable system

圖10為相位超前校正控制與Smith-PID控制的實時位移比較。相位超前校正控制與Smith-PID控制相比, 位移波動幅度較小, 穩定性得到了提高。

圖10 相位超前校正與Smith-PID控制器位移比較Fig.10 Comparison of displacement between phase advance correction controller and Smith-PID controller

4 結 論

針對磁懸浮系統的時滯問題, 提出相位超前校正控制器, 并將其與Smith-PID控制器在磁懸浮系統上進行仿真與實時實驗對比, 得到以下結論:

(1)采用相位超前校正控制器后, 減弱了磁懸浮系統相位的滯后, 提高了系統的收斂速度, 緩解了磁懸浮系統的時滯問題。

(2)相比于Smith-PID控制的磁懸浮控制系統, 基于相位超前校正控制的磁懸浮系統的位移波動幅度減小, 穩定性明顯提高。