一種基于級數(shù)函數(shù)的新型拱軸線

邱 辰，謝肖禮，覃 霞，楊創(chuàng)捷

(1.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，南寧 530004；2.梧州學(xué)院 機(jī)械與材料工程學(xué)院，廣西 梧州 543002；3.廣西科學(xué)院，南寧 530007)

0 引 言

拱圈的線形直接影響拱橋的內(nèi)力分布與大小[1], 一般認(rèn)為理想的拱軸線應(yīng)與拱上各種荷載作用下的三鉸拱壓力線相吻合, 此時沿拱軸線的每一正截面都無彎矩和剪力, 只承受軸向壓力作用, 這樣的拱軸線被稱為合理拱軸線。

1 新型拱軸線初始方程的建立

1.1 力系等效分析

拱圈受力狀態(tài)如圖1所示, 計算跨徑l, 矢高f, 水平推力H, 拱頂彎矩M0, 拱圈自重為沿弧長分布的均布荷載g(x), 吊桿或立柱的集中力為Pi(i=1, 2, …,n), 拱圈所承擔(dān)的恒載為g(x)與Pi之和。為便于運(yùn)算, 據(jù)圣維南原理將集中力Pi用靜力等效均布荷載q(x)代替, 荷載等效對結(jié)構(gòu)的整體受力不產(chǎn)生影響, 僅影響集中力作用點(diǎn)附近的受力。

圖1 拱圈的受力狀態(tài)Fig.1 Stress state of arch

為了將沿弧長分布的拱圈自重荷載g(x)與橋面系均布荷載q(x)統(tǒng)一到同一坐標(biāo)系, 需將g(x)轉(zhuǎn)換為沿跨度方向的荷載gx(x), 則有

(1)

式中:x、y為拱圈任意點(diǎn)坐標(biāo)。此時作用在拱圈上的全部恒載轉(zhuǎn)換為沿跨度方向全部恒載f(x), 則有

(2)

1.2 拱軸線初始方程的建立

設(shè)拱軸線方程為級數(shù)函數(shù)

(3)

取距離拱頂O點(diǎn)x處的任意截面, 對其右側(cè)的全部荷載對該截面建立彎矩平衡方程, 得拱圈任意截面彎矩M(x)為

(4)

式中:H為拱頂水平推力;M0為拱頂彎矩。

M(Xi)=0;

(5)

將邊界條件x=l/2,y=f代入式(2)得

(6)

式(5)與式(6)聯(lián)立成一方程組, 共有n+2個方程, 其中包含a1、a2、…、an、H、M0共n+2個未知數(shù), 求解該方程組即可得到拱軸線系數(shù)以及水平推力和拱頂彎矩, 分別記為a1, 0、a2, 0、…、an, 0、H0和M0, 1, 所得拱軸線稱為初始拱軸線

(7)

該拱軸線初始方程采用有限元分析軟件對初始拱軸線進(jìn)行建模計算, 讀取各節(jié)點(diǎn)的豎向位移, 并運(yùn)用最小二乘法將其擬合為拱軸線位移函數(shù)v(x)。

2 拱軸線最終方程的求解

2.1 迭代式的建立和求解

為了表達(dá)撓度與拱軸線及其他參數(shù)之間的關(guān)系并建立迭代式, 在小變形假設(shè)的前提下, 結(jié)合拱的撓度理論控制方程[15]

(8)

式中:ω(x)為任意點(diǎn)撓度;E(x)I(x)為抗彎剛度。

由式(2)、 (4)、 (8)可得

(9)

(10)

式中:φ為拱軸線位移函數(shù)v(x)與ω(x)的夾角。

將式(10)寫成迭代格式則有

(11)

其中:m為迭代次數(shù)。

(12)

(13)

與前文相似, 對式(12)與式(13)構(gòu)成的n+2元方程組進(jìn)行求解, 即可得到第m+1次狀態(tài)的拱軸線系數(shù)a1,m+1、a2,m+1、…、an,m+1以及水平推力Hm+1和拱頂彎矩M0,m+1。

2.2 迭代終止準(zhǔn)則及拱軸線最終方程

3 算 例

3.1 等截面空腹式拱橋

對跨徑500 m的等截面空腹式拱橋, 取矢跨比為l/5, 拱圈沿弧長自重荷載集度g=63 kN/m, 橋面恒載q=200 kN/m, 吊桿間距取為10 m, 橋面荷載由吊桿傳遞給拱圈。為了方便計算, 取n=4, 求得拱軸線初始方程為y=1.581×10-3x2+3.154×10-10x4-2.082×10-16x6+3.630×10-22x8。取ε=0.000 1, 經(jīng)過迭代計算后的拱軸線最終方程為y=1.566×10-3x2+6.963×10-10x4-3.396×10-15x6+1.369×10-20x8。

采用Midas Civil軟件建立初始狀態(tài)和最終狀態(tài)拱軸線的計算模型, 彎矩和應(yīng)力如圖2所示。初始狀態(tài)下, 拱頂、 拱腳彎矩為29 345.6 和-52 245.1 kN·m, 最小和最大應(yīng)力為112.449和158.389 MPa; 最終狀態(tài)下, 拱頂、 拱腳彎矩為35 696.4和-41 219.3 kN·m, 最小和最大應(yīng)力為109.935和152.386 MPa。經(jīng)過迭代計算后拱圈內(nèi)力和應(yīng)力均得到有效改善, 拱腳彎矩降低21.1%, 全拱最大應(yīng)力減小3.8%, 最小應(yīng)力減小2.2%。

圖2 等截面空腹式拱橋初始狀態(tài)和最終狀態(tài)下拱軸線的彎矩和應(yīng)力圖Fig.2 Bending moment and stress diagrams of arch axis in initial state and final state of equal section hollow arch bridge

3.2 變截面空腹式拱橋

對跨徑500 m的變截面空腹式拱橋,拱圈矢跨比取l/5,拱圈拱頂自重荷載集度gd=73.4 kN/m,拱腳自重荷載集度gd=98 kN/m,沿跨度按線形變化,橋面恒載q=200 kN/m,吊桿間距取為10 m,橋面荷載由吊桿傳遞給拱圈。為了方便計算,取n=4,求得拱軸線初始方程為y=1.545×10-3x2+1.114×10-9x4-6.115×10-15x6+3.964×10-20x8。取ε=0.000 1, 經(jīng)過迭代計算后的拱軸線最終方程為y=1.547×10-3x2+1.960×10-10x4+2.403×10-14x6-2.170×10-19x8。

采用Midas Civil軟件建立初始狀態(tài)和最終狀態(tài)拱軸線的計算模型, 彎矩和應(yīng)力如圖3所示。初始狀態(tài)下, 拱頂、 拱腳彎矩為35 456.0和-100 322 kN·m, 最小和最大應(yīng)力為86.373和116.819 MPa; 最終狀態(tài)下, 拱頂、 拱腳彎矩為38 309.3和-91 821.3 kN·m, 最小和最大應(yīng)力為86.069和114.402 MPa。經(jīng)過迭代計算后拱圈內(nèi)力和應(yīng)力均得到有效有效改善, 拱腳彎矩降低8.5%, 全拱最大應(yīng)力減小2.1%, 最小應(yīng)力減小0.4%。

圖3 變截面空腹式拱橋初始狀態(tài)和最終狀態(tài)下拱軸線的彎矩和應(yīng)力圖Fig.3 Bending moment and stress diagrams of arch axis in initial state and final state of variable cross section hollow arch bridge

3.3 新型拱軸線與五點(diǎn)重合法拱軸線

圖4 懸鏈線拱軸線彎矩(a)和應(yīng)力(b)Fig.4 Bending moment(a) and stress(b) of catenary arch axis

3.4 新型拱軸線與懸鏈線拱軸線

在橋梁設(shè)計中, 選取懸鏈線作為拱軸線時也可在原有五點(diǎn)重合法所求出拱軸系數(shù)m的基礎(chǔ)上再對m進(jìn)行調(diào)整以找出更為合適的拱軸系數(shù), 在3.2節(jié)工況下選取拱軸系數(shù)為m=1.1、 1.2、 1.3的懸鏈線與本文新型拱軸線進(jìn)行對比, 各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)如表1所示(坐標(biāo)系見圖1), 初始狀態(tài)拱軸線坐標(biāo)介于拱軸系數(shù)為1.1和1.2的懸鏈線之間, 最終狀態(tài)拱軸線坐標(biāo)介于拱軸系數(shù)為1.2和1.3的懸鏈線之間。同樣建立拱軸系數(shù)為1.1、 1.2、 1.3的懸鏈線計算模型, 計算結(jié)果如表2所示。最終狀態(tài)的拱軸線內(nèi)力及應(yīng)力相比所選取的懸鏈線有較大改善, 其拱腳彎矩及最大應(yīng)力均小于拱軸系數(shù)m為1.1和1.2的懸鏈線; 其拱腳彎矩及最大應(yīng)力雖大于拱軸系數(shù)為1.3的懸鏈線, 但該懸鏈線最大應(yīng)力出現(xiàn)在拱頂, 這對結(jié)構(gòu)受力顯然是不利的。

表1 拱軸線坐標(biāo)

表2 拱軸線彎矩及應(yīng)力

4 結(jié) 論

本文提出了一種新型拱軸線并對其進(jìn)行深入的分析與研究, 得出以下結(jié)論:

(2)給出了迭代計算的終止準(zhǔn)則, 當(dāng)?shù)`差|ai,m+1-ai,m|≤ε時(ε為一很小的正數(shù)), 即認(rèn)為計算收斂, 停止迭代計算, 即可得到拱軸線最終方程的系數(shù)。

(3)為了對本文的計算理論進(jìn)行驗(yàn)證, 取n=4,ε=0.000 1, 分別對等截面空腹式拱橋和變截面空腹式拱橋拱軸線進(jìn)行求解, 并運(yùn)用有限元分析軟件對所得拱軸線進(jìn)行建模分析。結(jié)果表明, 經(jīng)過迭代計算后, 最終狀態(tài)的拱軸線在恒載作用下其拱腳彎矩和全拱最大應(yīng)力均小于初始狀態(tài)的拱軸線。

(4)將所求得等截面空腹式拱橋拱軸線與五點(diǎn)重合法求得的懸鏈線拱軸線對比, 新型拱軸線的內(nèi)力和應(yīng)力均得到有效改善, 拱腳彎矩減小21.5%, 全拱最大應(yīng)力減小3.9%, 最小應(yīng)力減小2.2%。

(5)將所求得變截面空腹式拱橋拱軸線與拱軸系數(shù)為1.1、 1.2、 1.3的懸鏈線作對比, 其內(nèi)力及應(yīng)力狀態(tài)相比所選取的懸鏈線有較大改善, 拱腳彎矩及最大應(yīng)力均小于拱軸系數(shù)為1.1和1.2的懸鏈線; 拱腳彎矩及最大應(yīng)力雖大于拱軸系數(shù)為1.3的懸鏈線, 但該懸鏈線最大應(yīng)力出現(xiàn)在拱頂, 這對結(jié)構(gòu)受力顯然是不利的, 故本文的新型拱軸線計算方法要優(yōu)于目前常用懸鏈線設(shè)計方法。