一種改進的梯形雙頻相移相位展開方法*

謝浩翔,萬 程,楊 博

(安徽大學 互聯網學院 智能科學與技術系,安徽 合肥 230031)

結構光三維成像技術是一種有效的光學三維測量方法,在生物醫學、工業檢測和逆向工程等領域有著廣泛的應用[1-4]。其中,條紋投影輪廓術(Fringe projection profilometry, FPP)應用最為廣泛。FPP方法使用投影儀投射一系列周期性圖案至目標物體,同時使用攝像機捕捉經過物體調制后的條紋圖像[5-7]。然后,從物體的幾何外形引起的相位變化信息中恢復物體的三維表面信息。常用的條紋分析方法有相移法[8]和傅里葉變換法[9]。與傅里葉變換法相比,相移法具有更高的精度,同時相位分析是逐像素的,分辨率更高。相移法也因此成為FPP技術中應用和研究的熱點。通過上述技術獲得的包裹相位信息,其范圍被截斷在(-π, π)。因此,需要通過相位展開來消除2π不連續性,以獲得絕對相位。目前最常用的相位展開算法包括灰度編碼[10]、相位編碼[11]、雙頻法[12]等。灰度編碼法包括二值格雷碼法和n級灰度編碼法,這類方法受系統離焦模糊和環境隨機噪聲影響較大,容易引入相位展開誤差。相位編碼法將條紋級次信息編碼到條紋的相位域,表現了較好的抗噪性和抗離焦性能,但受限于系統的非線性,其頻率不能過高。相比而言,雙頻法利用低頻相位獲得較好的抗噪性能,高頻相位保證了測量精度,能夠很好地避免相位展開誤差的出現。傳統的雙頻利用兩種不同頻率的正弦條紋,低頻相位作為高頻相位展開的依據,完成一次測量需要6幅圖像。為了提高測量的效率,Li J等[13]提出了復合雙頻的方法,將兩種頻率的條紋復合在5張圖中,提高了測量效率。但相較于兩組獨立頻率條紋的方法,復合頻率方法對噪聲較敏感,容易產生相位誤差。

為了在提升測量效率的同時,保持雙頻測量方法的魯棒性。文中提出一種改進的梯形雙頻相移解包裹方法。文中將傳統梯形條紋中折角線替換成正弦函數曲線,使得過渡區域更加平滑。所提出的方法的測量深度范圍在相域內為6π,相較于原來的方法提高了3倍。改進之后的方法,相移梯形的相移為2π,整個周期為6π。改進后的三步相移梯形條紋作為雙頻中的低頻組,同時為高頻條紋提供圖像背景強度信息,所以高頻條紋組只需要2幅圖像。

1 基礎理論

1.1 相移算法

N步相移算法因其測量速度快、測量精度高和非接觸的優點[14],而被廣泛地應用于相位測量中。在N步相移算法中,三步相移算法是高速三維測量應用中的最佳選擇,因為它需要最少的圖像來獲得絕對相位圖。三步相移算法的步長是2π/3,每個條紋的強度值可以表示為:

(1)

式中,A(x,y)是測量環境背景光強;B(x,y)是條紋的調制度;φ(x,y)是截斷相位;(x,y)是圖像坐標點。依據相移算法,A(x,y)、B(x,y)、φ(x,y)可分別通過下式計算得到(為了公式簡潔,下文省略坐標(x,y):

(2)

(3)

(4)

通過求解方程(見式4)可得到截斷相位,因為反正切函數的值域范圍只有-π/2到π/2。2π相位跳變點需要通過相位展開算法消除。相位展開算法的核心問題是獲得條紋級次k(x,y)。最終絕對相位可以由式5得到

Φ=φ+2π×k

(5)

1.2 雙頻相位展開方法

雙頻條紋算法包括一組低頻條紋和一組高頻條紋,為了提升測量效率,Zuo C等[15]提出3+2的雙頻相位展開算法。該方法中需要2幅低頻條紋和3幅高頻條紋圖像,其強度可表示為:

(6)

式中,Il1(x,y)、Il2(x,y)為低頻條紋,Ih1(x,y)、Ih2(x,y)、Ih3(x,y)為高頻條紋;φl(x,y)、φh(x,y)分別為低頻、高頻條紋的截斷相位。對于高頻條紋,其截斷相位φh(x,y)可由式4計算得到,而背景強度可通過下式計算:

(7)

低頻條紋的截斷相位可由式8計算所得:

(8)

假設φl只有一個周期,則Φl=φl。根據低頻絕對相位Φl和高頻絕對相位Φh的數學比例關系,可計算出φh所對應的條紋級次:

(9)

式中,fh和fl分別表示高頻條紋和低頻條紋的頻率。最終計算出:

Φh=φh+2π×kh

(10)

傳統的雙頻算法的原理圖如圖1所示。當低頻周期為1時,絕對相位與截斷相位相等。通過式9和式10可以得到平滑連續的絕對相位Φh。

圖1 傳統雙頻相移算法原理圖

2 改進的梯形雙頻相移解包裹方法

為了提高條紋解析的效率,P. S. Huang等[16]提出了梯形相移算法。梯形相移條紋在圖像強度變化上不再是正弦曲線,而是呈梯形變化(見圖2a)。梯形條紋是基于圖像強度編碼的,條紋處理速度較快。

a) 傳統的梯形條紋

本文提出使用正弦曲線代替梯形過渡的斜線,通過正弦編碼,將其解析的值域擴展到0～6π。同樣使用三步相移算法,那么改進后的梯形條紋強度可表示為:

(11)

(12)

(13)

三步相移梯形條紋強度分布如圖2b～圖2d所示。根據上述圖像強度在局部區域的不同獲取局部編碼順序M來獲取梯形條紋的相位分布。

(14)

通過上述3個方程獲取初步相位圖:

(15)

式中,Tmax(x,y)、Tmed(x,y)、Tmin(x,y)分別表示點在3幅圖像中強度的最大值、中間值和最小值。r(x,y)的分布如圖2e所示,其值域范圍為(0,π]。結合式14所獲取的局部順序信息,可獲取最終的相位展開圖R(x,y)(見圖2f)。顯然,改進后的梯形條紋相位圖具有[0,6π)的值域范圍。改進后的梯形條紋替換傳統雙頻條紋中的低頻正弦條紋,假設兩組條紋頻率與傳統雙頻兩組條紋頻率相同,那么條紋級次的可由下式計算獲得:

(16)

通過獲取的條紋圖像,計算得到條紋級次,將級次信息與截斷相位代入到式5,可獲取最終的絕對相位信息。

本文提出的雙頻方法,略微不同于1.2中的雙頻相位展開方法。本文將改進的梯形條紋作為低頻部分,高頻部分采用2幅正弦條紋。改進的梯形條紋,在過渡部分更加平滑,在一定程度上提高了低頻部分的魯棒性能。本文方法的基本框架圖如圖3所示。

圖3 改進梯形雙頻法的基本框架圖

3 實驗結果與分析

3.1 仿真實驗與分析

為了驗證該方法的有效性,進行了仿真實驗。仿真圖像的分辨率為800 pixel×800 pixel,改進梯形條紋頻率為1,高頻條紋頻率為16。仿真圖像加入信噪比(SNR)為30的噪聲,然后對雙頻條紋進行處理。圖4所示為加入噪聲之后的本文方法仿真的結果。從圖4可以看出,即使條紋圖像的噪聲很大,本文方法仍能夠恢復較為平滑的仿真平面。但是由于圖像強度在邊界部分更容易受噪聲干擾,會出現些許噪點。實際運用中可以使用半周期算法校正[17],也可以縮小測量的范圍,將測量區域集中在圖像中央。

a) 改進梯形低頻條紋

3.2 物體測量實驗與分析

為了驗證本文方法在實際測量中的有效性,搭建了條紋投影系統。該系統包括DLP Light-Crafter 4500 和攝像機Point Grey Chameleon3,其中投影儀的分辨率為912 pixel×1 140 pixel,攝像機的分辨率為1 280 pixel×1 024 pixel。實驗過程中,梯形條紋的頻率為1,高頻條紋頻率為16。

實驗中首先測量單個雕塑模型,其測量結果如圖5所示。測量結果表明了該方法在測量單個物體時具有很好的性能。為了進一步驗證該方法在測量不連續的兩個獨立物體時的準確性,實驗測量了兩個相互獨立的雕塑模型。投影儀將本文設計生成的條紋投射至物體表面,攝像機同步采集被物體調制后的變形條紋圖像。攝像機采集的圖像如圖5所示,其中圖5a～圖5c為低頻改進的梯形條紋調制圖,圖5d～圖5e為高頻正弦條紋調制圖。

a) 低頻相位為0的梯形條紋

將采集到的圖像使用本文方法進行處理,處理結果如圖6所示。其中,圖6a為改進的梯形條紋求得的低頻相位,從圖中可以看出,圖像邊緣部分有輕微的噪聲;圖6b～圖6c分別為通過高頻截斷相位和雙頻算法獲得的條紋級次;使用式10可獲得最終的絕對相位,從圖6d可以看出,噪聲信息得到了抑制。圖7b所示為最終三維重建出的物體表面,重建的物體表面光滑,幾乎無誤差,表面形貌接近圖7a所示的實際物體,進一步表明了本文方法的有效性。

a) 改進梯形低頻相位

a) 物體實物圖

4 結語

本文提出了一種改進的梯形雙頻相移相位展開方法。用正弦曲線代替梯形折角線,使過渡區域平滑。改進的梯形相移條紋其測量深度范圍為(0,6π],相較于傳統的正弦條紋擴大了3倍,并在6π相位域中獲得了更好的抗噪聲能力。仿真和實驗結果驗證了該方法的有效性。