基于接觸非線性的箔片結(jié)構(gòu)力學(xué)特性分析

黎榮健,肖曙紅,張巖

(廣東工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,廣州 510006)

與傳統(tǒng)的油潤滑軸承和滾動(dòng)軸承相比,箔片氣體軸承因結(jié)構(gòu)簡單,使用壽命長,維護(hù)成本低以及能在高速、高溫等極端環(huán)境下運(yùn)行[1-2],成為高速渦輪機(jī)械的絕佳選擇[3]。在已開發(fā)的箔片軸承類型中,徑向箔片氣體軸承使用最廣泛,軸套內(nèi)部放置一個(gè)柔性箔結(jié)構(gòu), 該結(jié)構(gòu)由一個(gè)波箔和一個(gè)頂箔組成,這種彈性支承結(jié)構(gòu)增強(qiáng)了軸承的承載能力和阻尼[4],克服了氣體黏度低帶來的性能缺陷。

快速、準(zhǔn)確預(yù)測軸承性能對(duì)于箔片氣體軸承的開發(fā)至關(guān)重要,然而,由于摩擦使得軸承系統(tǒng)具有高度非線性,仍然很難準(zhǔn)確描述軸承的工作特性。文獻(xiàn)[5-6]用一種彈簧模型模擬箔片,將各個(gè)波箔片等效為無相互作用的彈簧,但忽略了頂箔的剛度,箔片之間的摩擦和波箔之間的相互作用,導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度被低估。不過該模型因其結(jié)構(gòu)簡單,易于編程仍被廣泛使用[7-9],文獻(xiàn)[10]就利用此類模型在研究中首次考慮了箔片結(jié)構(gòu)的阻尼效應(yīng),并預(yù)測了箔片軸承的剛度和阻尼系數(shù)。雖然上述模型已被廣泛采用,但由于轉(zhuǎn)軸與頂箔之間碰撞的相互作用被丟棄,因而具有局限性。為獲得更精確的模擬結(jié)果,開始使用有限元法對(duì)軸承進(jìn)行建模:文獻(xiàn)[11]使用二維梁單元對(duì)頂箔和波箔建模,并使用黏滑算法[12]考慮摩擦,建立了考慮滯回特性的模型,預(yù)測表明一個(gè)靜載荷對(duì)應(yīng)多個(gè)平衡位置;文獻(xiàn)[13]同樣采用梁單元為基礎(chǔ)的有限元結(jié)構(gòu)模型,但不同之處在于采用非線性接觸的數(shù)值程序處理各接觸區(qū)域的接觸力,并將該方法應(yīng)用于三維模型[14]。另外還可使用殼單元模擬箔片[15-18],如文獻(xiàn)[15]提出了一個(gè)考慮大位移的非線性模型,并將箔片建模為殼單元,文獻(xiàn)[18]以懲罰法和正則化摩擦定律為基礎(chǔ)對(duì)波箔進(jìn)行建模。還有使用有限元商業(yè)代碼[19-20]對(duì)箔片進(jìn)行建模的方法,其考慮了箔片之間的相互作用,但求解較為復(fù)雜,在建立非線性摩擦模型時(shí)數(shù)值收斂性不好。

為簡化計(jì)算量并保證計(jì)算精度,開發(fā)了近似有限元結(jié)構(gòu)的桁架系統(tǒng)。文獻(xiàn)[21]用一種結(jié)構(gòu)簡單的桁架系統(tǒng)模擬波箔片,每個(gè)波箔片被建模為3個(gè)基本彈簧,彈簧的剛度由卡斯提利亞諾理論獲得,雖然結(jié)構(gòu)簡單,但與有限元仿真結(jié)果表現(xiàn)出更好的一致性,還證明了波箔相互作用的重要性。文獻(xiàn)[22-23]采用上述桁架模型,在波箔與軸套的接觸部位增加了垂直自由度,并考慮了頂箔的影響和軸承系統(tǒng)的接觸/分離行為,箔片結(jié)構(gòu)的法向和切向接觸力分別采用增廣拉格朗日乘子法和懲罰法處理,分析結(jié)果與文獻(xiàn)[24-25]一致。

為準(zhǔn)確描述摩擦對(duì)軸承系統(tǒng)特性的影響,本文提出一種考慮非線性接觸的靜態(tài)結(jié)構(gòu)模型,其能捕捉柔性結(jié)構(gòu)的非線性與時(shí)變性;主要討論波箔與軸套之間以及箔片之間的點(diǎn)線接觸狀態(tài);利用懲罰法離散每個(gè)接觸區(qū)域的力學(xué)向量,通過正則化技術(shù)改進(jìn)庫倫摩擦模型,采用牛頓-拉弗森法求解平衡方程;最后通過轉(zhuǎn)子推拉仿真得到箔片結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為與能量耗散等特性。

1 理論模型

1.1 波箔建模

以軸心為原點(diǎn)建立全局坐標(biāo)系OXY,則徑向箔片氣體軸承簡化圖如圖1所示,為簡化計(jì)算量,波箔采用文獻(xiàn)[21]提出的簡化桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模。對(duì)波箔建立局部坐標(biāo)系Oxy,2個(gè)波箔片組成的箔片數(shù)學(xué)模型如圖2所示,可以擴(kuò)展到任意數(shù)量波箔片,因?yàn)榭紤]了波箔、頂箔與軸套之間的松緊接觸,在每個(gè)凸塊底部都需要增加一個(gè)額外的自由度(圖2中藍(lán)色箭頭),即垂直位移,并且需要重新求解波箔的剛度。

圖1 徑向箔片氣體軸承簡化圖

圖2 2個(gè)波箔片組成的箔片數(shù)學(xué)模型

(1)

進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為全局坐標(biāo)系的局部剛度矩陣kb,即

(2)

(3)

c=cosβ,

s=sinβ,

式中:T為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣;β為兩坐標(biāo)系之間的夾角。

1.2 頂箔建模

(4)

式中:E為材料彈性模量,GPa;A為單元橫截面積,m2;I為橫截面積的慣性矩,m4;Le為單元長度,m。

1.3 摩擦接觸建模

頂箔和軸套視為主體,波箔視為從體。在外力作用下,箔片的變形增加了箔片之間的接觸面積,理論上,每個(gè)波箔與頂箔之間應(yīng)建立多個(gè)接觸點(diǎn)對(duì),由于與箔片的長度相比變形的尺寸較小,因此僅選擇每個(gè)波箔上的最高節(jié)點(diǎn)作為接觸節(jié)點(diǎn)。箔片結(jié)構(gòu)及接觸點(diǎn)示意圖如圖3所示,波箔上的綠色節(jié)點(diǎn)為接觸節(jié)點(diǎn),也被視為檢測點(diǎn),被檢測節(jié)點(diǎn)位于紅色單元中,藍(lán)色節(jié)點(diǎn)是與接觸對(duì)相關(guān)的節(jié)點(diǎn)。

圖3 箔片結(jié)構(gòu)及接觸點(diǎn)示意圖

頂箔與波箔之間的接觸示意圖如圖4所示,Q為波箔的接觸節(jié)點(diǎn),P為Q在頂箔上的投影,P與Q之間的相對(duì)位移為(下角標(biāo)t表示切向方向,n表示法向方向)

圖4 頂箔與波箔之間的接觸示意圖

uP-uQ=Ncuc,

(5)

Nc=[-N1(ξ) -N2(ξ)I2×2],

上述向量在全局坐標(biāo)系中定義,為方便計(jì)算,將其引入到接觸條件中,在接觸點(diǎn)對(duì)的局部坐標(biāo)系中重新定義(5)式,即

(6)

L=-I2×2,

(7)

式中:uB,uA分別為P,Q在局部坐標(biāo)系中的位移向量;L為坐標(biāo)變換矩陣。

將接觸面離散化后,每個(gè)接觸區(qū)域的分布接觸力轉(zhuǎn)化為離散形式,節(jié)點(diǎn)Q的法向接觸力Fn表示為

(8)

式中:α為懲罰數(shù),實(shí)際計(jì)算中不可能將α設(shè)置為無窮大以獲得準(zhǔn)確解,需要根據(jù)實(shí)際問題選擇一個(gè)可接受的值,本文α取1.0×108N/mm。

利用庫倫摩擦模型將節(jié)點(diǎn)Q的切向接觸力Ft表示為

(9)

(10)

式中:c1為控制正則化摩擦模型與庫倫摩擦模型之間接近度的平滑參數(shù),本文c1取100 m。

結(jié)合(9)—(10)式得到Q點(diǎn)切向力為

(11)

根據(jù)反作用力原理可得到相關(guān)節(jié)點(diǎn)對(duì)和接觸節(jié)點(diǎn)對(duì)的等效節(jié)點(diǎn)接觸力向量,即

(12)

FB=[FtFn]T,

式中:FB為B點(diǎn)的接觸力向量;qc等效節(jié)點(diǎn)接觸力向量。

由于考慮了摩擦接觸,非線性行為被引入模型,假設(shè)將所有單元組合后形成的系統(tǒng)的全局非線性方程為

K(u)=FL=Ku-Qc,

(13)

式中:K(u)為u的非線性函數(shù);FL為外力向量。

牛頓-拉弗森法是求解非線性方程的基本方法之一,其從一個(gè)假設(shè)解開始,通過不斷的迭代逼近真實(shí)解,直到滿足收斂準(zhǔn)則。假設(shè)第l步的近似解已知,記作ul,則下一步的近似解ul+1近似為一階泰勒展開式,即

(14)

進(jìn)一步寫為

(15)

(16)

Qc=[(qc,1)T(qc,2)T… (qc,Ncont)T]T,

(17)

D=[(uc,1)T(uc,2)T… (uc,Ncont)T]T,

(18)

(19)

最后得到線性化的系統(tǒng)方程為

(20)

(21)

通過(20)式得到增量Δul,則新的近似解為ul+1=ul+Δul,通常該解滿足不了原非線性方程,當(dāng)殘差變得足夠小時(shí),u是正確解。平衡方程的收斂準(zhǔn)則為

(22)

2 結(jié)果與分析

轉(zhuǎn)子不對(duì)中時(shí),隨著轉(zhuǎn)軸在垂直方向移動(dòng),箔片結(jié)構(gòu)在垂直和水平方向都發(fā)生變形,箔片的垂直變形決定了軸承的承載能力,而水平運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生阻尼。箔片氣體軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1,利用Matlab將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為程序語言進(jìn)行仿真,轉(zhuǎn)軸的最大徑向位移設(shè)為79.5 μm(即2.5C),程序模擬轉(zhuǎn)軸在正負(fù)X,Y方向上逐步壓向箔片結(jié)構(gòu),當(dāng)轉(zhuǎn)軸位移超過C時(shí),轉(zhuǎn)軸的表面和箔片結(jié)構(gòu)開始相互作用,達(dá)到最大徑向位移后,轉(zhuǎn)軸逐漸被拉回初始位置。

表1 箔片氣體軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)

2.1 箔片結(jié)構(gòu)力學(xué)行為

不同摩擦因數(shù)下X,Y方向靜載荷與轉(zhuǎn)軸位移的關(guān)系如圖5所示:除-X方向外仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[20]完全非線性模型的結(jié)果非常吻合,因?yàn)榉抡娉绦蜿U明了加載和卸載,所以預(yù)期的滯回曲線清晰可見;靜載荷為轉(zhuǎn)軸擠壓頂箔時(shí)受到頂箔的反作用力,方向?yàn)檗D(zhuǎn)軸徑向移動(dòng)方向,并與接觸點(diǎn)處切線垂直,加載過程的靜載荷比卸載過程的靜載荷大,這是因?yàn)樾遁d開始時(shí)一部分力平衡了摩擦力,接觸點(diǎn)不會(huì)立即滑動(dòng);載荷與偏轉(zhuǎn)曲線在輕載荷區(qū)域不是線性的,而在重載荷區(qū)域幾乎是直線,這是因?yàn)樵谳p載荷區(qū)域只有少數(shù)波箔發(fā)生變形, 當(dāng)變形波箔的數(shù)量不再增加時(shí),載荷與偏轉(zhuǎn)曲線的斜率幾乎恒定; 隨著摩擦因數(shù)的增大,環(huán)路變得越來越明顯,當(dāng)沒有摩擦?xí)r,加載過程曲線與卸載過程曲線完全重合;在-X方向上,仿真預(yù)測結(jié)果明顯小于完全非線性模型預(yù)測結(jié)果,文獻(xiàn)[22]指出,雖然固定端附近的幾個(gè)波箔的剛度非常大,但自由端附近的波箔剛度非常小,因此完全非線性模型可能會(huì)高估-X方向上的結(jié)構(gòu)剛度。

圖5 不同摩擦因數(shù)下靜載荷與轉(zhuǎn)軸位移的關(guān)系

摩擦因數(shù)分別為0,0.10,轉(zhuǎn)軸達(dá)到最大徑向位移(2.5C)時(shí)4個(gè)方向波箔上的靜載荷仿真結(jié)果如圖6所示:波箔從固定端開始編號(hào),摩擦因數(shù)對(duì)各波箔之間剛度的相對(duì)大小有影響;對(duì)于-X方向,靠近固定端的第1和第2個(gè)波箔比其他波箔的靜載荷大得多,自由端附近波箔的靜載荷很小。

圖6 轉(zhuǎn)軸位移為2.5C時(shí)各波箔的承載力

2.2 固定端對(duì)箔片剛度的影響

選擇+X方向分析固定端對(duì)箔片剛度的影響,如圖7所示,隨著轉(zhuǎn)軸在+X方向上被推拉(最大徑向位移為2.5C),第10到第18個(gè)波箔與轉(zhuǎn)軸表面接觸,波箔14的垂直位移最大,波箔14左右兩側(cè)各選一個(gè)波箔(波箔12與16)進(jìn)行對(duì)比分析。

圖7 波箔與轉(zhuǎn)軸表面接觸

轉(zhuǎn)軸在+X方向上被推拉至徑向位移為2.5C的過程中,波箔12,14,16的滯回曲線如圖8所示:無論加載還是卸載過程,靠近固定端的波箔具有更大的剛度;在整個(gè)回路中,波箔垂直位移與靜載荷之間呈線性關(guān)系,符合實(shí)際情況。轉(zhuǎn)軸最大徑向位移分別為60,70,80 μm時(shí)波箔14的滯回曲線如圖9所示:在卸載過程中曲線不重合,這是固定端施加反作用力的結(jié)果。通過上述仿真結(jié)果可以看出,固定端對(duì)箔片結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響不能忽略。

圖8 波箔12,14,16的滯回曲線

圖9 轉(zhuǎn)軸最大徑向位移分別為60,70,80 μm時(shí)波箔14的滯回曲線

轉(zhuǎn)軸最大徑向位移分別為60,70,80 μm時(shí)波箔12與波箔16的滯回曲線如圖10所示:波箔12更接近于固定端,在大回路中表現(xiàn)出更高的剛度。這是因?yàn)榉抡鏁r(shí)轉(zhuǎn)軸中心左側(cè)的波箔受固定端響應(yīng)力的影響較大;在卸載過程中,固定端的響應(yīng)力有助于箔片克服摩擦力,促進(jìn)接觸節(jié)點(diǎn)的滑動(dòng),預(yù)載荷較小時(shí)該現(xiàn)象更為明顯;隨著預(yù)載荷逐漸增大,固定端的響應(yīng)力對(duì)波箔的影響變小,這是因?yàn)檗D(zhuǎn)軸位移增加到一定程度時(shí)反作用力比摩擦力小很多,從而導(dǎo)致預(yù)載荷較小的轉(zhuǎn)軸在卸載過程中更快進(jìn)入滑動(dòng)狀態(tài)。

轉(zhuǎn)軸徑向位移為2.5C,摩擦因數(shù)為0.1,不同方向上波箔的耗散能量如圖11所示,在圖11的基礎(chǔ)上繼續(xù)研究不同摩擦因數(shù)下箔片的總耗散能量,結(jié)果如圖12所示:影響耗散能量的因素為靜載荷和接觸點(diǎn)的水平位移,能夠看出各波箔耗散能量與圖6中的靜載荷分布略有不同;隨著摩擦因數(shù)的增大,能量耗散越來越多;+Y方向的耗散能量最高,-X方向上靠近固定端的2個(gè)波箔能量耗散較高,但是靠近自由端的波箔剛度很低,所以總耗散能量偏低。

圖12 不同摩擦因數(shù)下箔片的總耗散能量

3 結(jié)論

介紹了一種考慮非線性接觸的箔片軸承分析模型,波箔使用桁架結(jié)構(gòu)建模,頂箔使用梁單元建模;頂箔、波箔與軸套之間的接觸被描述為點(diǎn)線接觸,并通過基于懲罰法的接觸算法進(jìn)行說明;為提高數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性,采用正則化摩擦模型代替庫倫摩擦模型;牛頓-拉夫森方法用于求解每個(gè)增量步驟中的系統(tǒng)方程,得到主要結(jié)論如下:

1)利用該模型研究了箔片結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為,通過轉(zhuǎn)軸推拉仿真得到預(yù)期的滯回曲線,證明了摩擦是箔片產(chǎn)生滯后現(xiàn)象的主要因素。

2)分析轉(zhuǎn)軸推拉仿真達(dá)到最大徑向位移時(shí)+X,-X,+Y,-Y方向上各個(gè)波箔的靜載荷分布,發(fā)現(xiàn)摩擦能夠提升箔片的承載能力,摩擦因數(shù)對(duì)各個(gè)波箔之間剛度的相對(duì)大小有一定的影響。

3)觀察單個(gè)箔片的滯回曲線,發(fā)現(xiàn)靠近固定端的箔片剛度更高,受固定端反作用力的影響,不同最大徑向位移箔片的卸載曲線不重合。不同摩擦因數(shù)下各個(gè)方向箔片結(jié)構(gòu)的耗散能量表明,相同外加條件下+Y方向的耗散能量最大。