柱狀透鏡陣列對物體隱形現象的探究

蘇詣博,王 拴,曹 峰,陳書湄,鄧柏昌

(哈爾濱工業大學(深圳) a.電子與信息工程學院;b.實驗與創新實踐教育中心;c.理學院,廣東 深圳 518055)

柱狀透鏡陣列對物體的隱形現象是2022年中國大學生物理學術競賽的題目之一,柱狀透鏡陣列(Lenticular lenses)會對光線傳播產生扭曲從而使“物體隱形”. 柱狀透鏡陣列被廣泛應用于印刷顯示、顯示屏等領域,透鏡陣列與交錯的打印圖像共同作用可以實現3D、動畫、翻轉、變形、縮放或各種組合等視覺效果[1-7]. 目前揭示柱狀透鏡陣列對物體隱形現象的物理原理和隱形效果[8-9]衡量方法的相關研究工作較少. 本研究工作綜合運用幾何光學和光度學理論,較好地解釋了利用柱狀透鏡陣列實現對物體隱形現象的物理機制,通過類比高斯光束的能量分布[10],借鑒瑞利判據思想[11],提出了臨界隱形物距的概念,可作為衡量柱狀透鏡陣列隱形效果的關鍵參量,對設計制造具備較好光學隱形特性的柱狀透鏡陣列具有參考意義. 同時,本文也通過光學物理場仿真和實驗探究了透鏡單元間距、曲率半徑、折射率以及物體幾何形狀等因素對隱形現象的影響. 本研究所涉及的實驗對器材及場地要求較少,可在實驗室或居家完成,可作為大學物理實驗教學創新設計型項目,也可作為高校物理及光電信息相關專業課程內容的拓展.

1 理論分析與物理場仿真

1.1 柱狀透鏡陣列單元的放大率

柱狀透鏡陣列是一系列圓柱狀微小透鏡排列組成的陣列,柱狀透鏡陣列單元為單個的柱狀透鏡,其厚度等于其焦距f,只有一面有曲率,另一面為平面,且有曲率的面只在1個維度上有曲率,這與普通凸透鏡(球狀面)在各個方向都有曲率不同.以O為原點建立空間笛卡爾坐標系,如圖1(a)所示,由于柱狀透鏡陣列只在平行于x軸的方向上有曲率,故只討論物體沿x軸方向的寬度d,如圖1(b)所示.

(a)柱狀透鏡陣列示意圖

由于柱狀透鏡陣列成像的大部分光強能量處于物體中心軸線位置,對于隱形現象的觀測也主要位于中心軸線處,因此采用了傍軸條件對理論模型進行簡化.在傍軸光線條件[12]下,物體第1次成像(以O1為頂點)為平面折射成像[見圖1(c)],由單球面折射的物像公式可得

(1)

其中,n0為柱狀透鏡陣列單元的折射率,空氣折射率近似等于1,p1為物體第1次成像的物距,p1′為第1次成像的像距,r為曲率半徑.對于平面有r→∞,易得第1次成像的放大率為k1=1,即平面不對物體產生放縮.第2次成像(以O2為頂點)為單凹球面折射成像,由單球面折射的物像公式可得

(2)

其中,p2和為p2′分別是第2次成像的物距和像距.由圖1(c)可知,p2=p1′+f=n0p1+f,代入式(2)得第2次成像的像距為

(3)

進而得到第2次成像的放大率為

(4)

故柱狀透鏡單元對物體2次成像的總放大率為

(5)

由幾何光學的符號法則和透鏡的幾何尺寸(一般r?p1)可知:k<0,|k|?1.故整個成像系統始終成倒立、縮小的實像.

1.2 光度學理論引進及光學仿真

由于物體的不同物點相距很近,單個物點發出的光強近似服從余弦分布[13],且柱狀透鏡陣列存在像差,即第n個透鏡單元與相鄰2個透鏡單元(第n-1和第n+1個透鏡單元)成像時的光強會發生重疊從而導致圖像串擾,如圖2(a)所示.串擾效應解釋了柱狀透鏡陣列對物體成像邊緣會有模糊延伸現象[14],圖2(b)為串擾成像示意圖,其中左側為成像物體,右側為經過柱狀透鏡陣列后的成像.由于柱狀透鏡陣列的串擾效應,在討論其成像時必須引入光度學的概念來界定其隱形的臨界條件.

(a)光強重疊導致圖像串擾示意圖

1.2.1 物體空間光強分布

實際物體一般為不發光物體,其表面一般為漫反射表面,光強I具有近似余弦輻射的特性[圖3(a)].物體可近似看作余弦輻射體,其在空間內的光亮度為定值L,設物體表面的光照度為M,則M與L有如下關系:

(6)

其中,θ和φ是立體角的2個輔助平面角.由式(6)可推導得到物體表面的光照度M為定值.

1.2.2 隱形條件的探究

首先，房地產開發企業的經營產品具有著非標準性特點。具體一些解釋，由于各個樓盤的所處地理位置與開發核心都有所不同，因此導致樓盤的整體風格也有著很大差異。房地產開發項目前需要展開綜合考量，其中包括開發區域的經濟發展水平、人文環境、居住需求等，有針對性的完成設計方案。

根據瑞利判據[15],考慮到可見光波長平均值(λ≈550 nm)和瞳孔直徑(φ≈3 mm),人眼在明視距離(u≈25 cm)處能分辨的最佳特征[16]是d′=1.22usinθ=1.22uλ/φ≈0.056 mm.

借鑒瑞利判據思想[圖3(b)],柱狀透鏡陣列對物點成像,當物距較小時,放大率的絕對值較大,成像寬度較大,成像會有重合;物距增大,像縮小,由重合變為不重合,即像分離,如圖3(c)所示.其中,Δx是相鄰2個透鏡單元成像的距離,由圖3(c)可知

Δx=(k+1)l,

考慮人眼對極小物體的分辨情況,柱狀透鏡陣列使物體隱形需同時滿足以下2個條件:

2)上述光斑的寬度小于人眼的分辨率(d′=0.056 mm) .

寫出上述條件的表達式為

kd>d′,kD<(k+1)l,

(7)

(8)

式(8)即為物體的臨界隱形物距表達式,即當物體物距p1大于臨界隱形物距p0時,可以觀察到物體的隱形現象.柱狀透鏡陣列物體的隱形效果會隨物距漸變,因此可以用臨界隱形物距p0的大小來衡量柱狀透鏡陣列對物體的隱形效果.p0越大,說明需要物體距離透鏡更遠才能隱形,物體的隱形效果相對更差;反之亦然.

1.2.3 光學仿真

使用VirtualLab Funsion高速物理光學軟件進行光學物理場仿真并測量光斑寬度D值. 選擇非序列模式,設置被觀測物體為平面矩形物體光源,并繪制三維柱狀透鏡陣列實體模型,進行光線追跡并使用探測器進行光照度探測,得到光照度分布. 仿真的被觀測物體的光照度呈均勻分布,如圖4(a)～(b)所示. 經柱狀透鏡陣列后的透射光光照度分布如圖4(c)～(d)所示,其中x軸光照度從中心向兩側遞減,且其形狀與高斯光束類似.根據這一特點,可類比高斯光束的能量分布特點研究透射光光照度的分布情況.根據以上光學仿真,可以得到經過柱狀透鏡陣列后透射光光照度分布圖4(d),其中Mmax為被觀測物體寬度d位置處的光照度(近似等于最大光照度),光照度降低至Mmax/e2時,可以求得光斑寬度D(該光斑范圍內包含約86.5%的光能).結合式(8)可求出該實驗條件下柱狀透鏡陣列的臨界隱形物距p0.改變柱狀透鏡陣列成像的條件(如曲率半徑r、透鏡間距l、被觀測物體寬度d等)進行光學仿真,即可獲得其他參量條件下的臨界隱形物距p0.

(a)被觀測物體光照度空間分布

2 實驗驗證

2.1 實驗器材

采用不同參量的柱狀透鏡陣列(材質為PET)、不同顏色的卡紙、白板、刻度尺、光具座、高清攝像機等器材進行實驗,實驗裝置示意圖如圖5所示.

圖5 實驗裝置示意圖

利用式(8)計算柱狀透鏡陣列的臨界隱形物距理論值p0,取不同的物距觀察隱形現象,并用攝像機記錄物體的隱形情況,對比不同情況下的隱形效果,實驗條件如表1～2所示.

表1 柱狀透鏡陣列參量及臨界隱形物距理論計算數據 (物體寬度d=20.00 mm)

表2 不同物體寬度對應的臨界隱形物距理論計算數據 (透鏡1)

在實驗中需要注意:

1)柱狀透鏡陣列只在1個方向有曲率,故只在1個維度(平行于柱狀透鏡陣列排列方向)上對物體有隱形作用;

2)被觀測物體需保證在垂直于柱狀透鏡陣列排列方向上的長度不能過大,否則不能實現較為理想的隱形效果.

2.2 實驗結果與討論

2.2.1 物距對成像的影響

通過柱狀透鏡陣列觀測物體隱形情況如圖6所示,其中圖6(a)和圖6(b)的實驗過程為:保持柱狀透鏡陣列參量(曲率半徑r、透鏡間距l)、被觀測物體寬度d不變,只改變物距p1,探究p1對隱形的影響.可以發現隨著p1不斷增大,物體成像逐漸模糊,隱形效果逐漸增強;當p1增加到臨界隱形物距p0時,開始出現隱形現象,繼續增大物距時可實現完全隱形效果.同時也可以發現,在相同物距p1和相同物體寬度d的實驗條件下,柱狀透鏡陣列的臨界隱形物距越小,隱形效果越好,如圖6(c)所示.

p1=145.0 mm p1=p0=186.0 mm p1=225.0 mm(a)物距對成像的影響(透鏡1,r=0.231 mm,l=0.251 mm,d=20.00mm)

2.2.2 柱狀透鏡陣列屬性對成像的影響

由理論和仿真可知,柱狀透鏡陣列單元間距l和曲率半徑r對臨界隱形物距p0具有重要影響.當柱狀透鏡陣列的折射率相同時,對于同一寬度d的物體成像,分別計算不同l和r值下的p0,增大l或者減小r,均可使p0減小,即柱狀透鏡陣列的隱形效果越好.圖6(c)的實驗過程為:保持柱狀透鏡陣列部分參量(透鏡間距l)、物距p1和被觀測物體的寬度d不變,只改變柱狀透鏡陣列曲率半徑r,探究柱狀透鏡陣列曲率半徑r對隱形效果的影響.在實驗中發現,在相同物距條件下,r=0.142 mm的柱狀透鏡陣列隱形效果優于r=0.231 mm的柱狀透鏡陣列,即曲率半徑越小,隱形效果越好;透鏡間距l較大的柱狀透鏡陣列的隱形效果更優[對比圖6(a)和圖6(b)].

2.2.3 物體幾何形狀對成像的影響

圖6(d)的實驗過程為:保持柱狀透鏡陣列參量(曲率半徑r、透鏡間距l)、物體物距p1不變,只改變被觀測物體的寬度d,探究了被觀測物體寬度d對隱形的影響.實驗現象表明:物體寬度d越大,實驗觀測圖像與被觀測物體原圖像的相似程度越高,隱形效果越差;物體寬度d越小,圖像實驗觀測圖像與被觀測物體原圖像的相似程度越低,隱形效果越好.

2.3 臨界隱形物距的適用性

本研究適用于傍軸光線條件,可以較好地解釋柱狀透鏡陣列屬性、物體幾何形狀對柱狀透鏡陣列隱形現象的影響及其物理機制,同時證明利用臨界隱形物距評估柱狀透鏡陣列的隱形特性具有較強的可行性和準確性.對于其他構型的透鏡陣列也具有推廣性,可通過幾何光學和光度學理論求得放大率表達式,并依據本文方法求得相應的臨界隱形物距,從而確定其隱形特性.

非傍軸光線條件下,當柱狀透鏡陣列透鏡單元曲率半徑較大、焦距較大、空間頻率較小時,物體成像的不均勻重影現象以及柱狀透鏡陣列的廣義衍射現象(傅里葉光學)[17]仍值得進一步探究.

3 結束語

以幾何光學為基礎,引進光度學理論,通過類比高斯光束的能量分布,借鑒瑞利判據的思想,提出了臨界隱形物距的概念,借助該參量可以很好地衡量柱狀透鏡陣列隱形的效果,并利用光學物理場仿真模擬得到了柱狀透鏡陣列透射光的光照度分布,對柱狀透鏡陣列實現物體隱形現象的影響因素進行了探究.本研究不僅豐富了光學隱形技術理論,同時對于設計和評估具備較好光學隱形特性的柱狀透鏡陣列具有參考意義.