空間任意運動剛體速度瞬軸位置的分析

樊 薇，孫慧恬，盧其宜

（江西機電職業技術學院，江西 南昌）

在工程實際中，經常會遇到分析平面運動剛體上各點的速度問題，其中有一種常用的方法為速度瞬心法，只要確定了速度瞬心的位置，剛體就可以視為繞速度瞬心轉動，從而避免了求矢量合成的問題，使得求速度問題更加簡便。也有文章（如文獻[1]、文獻[2]）討論了用加速度瞬心法求加速度問題，由此可見，瞬心法有其便捷性。進一步想象一下，如果能確定空間任意運動剛體速度瞬軸的位置，則可以用定軸轉動剛體的有關方法求解剛體上各點的速度問題，從而簡化了求解過程。經文獻檢索，文獻[3]雖然討論了確定空間任意運動剛體速度瞬軸的位置，但我們認為還不夠全面。為此，我們對這個問題進行了研究，提出了“軸向速度投影定理”。最后得出的結論認為，空間任意運動剛體存在速度瞬軸或速度動軸，因而，剛體繞速度瞬軸作轉動或瞬時轉動；或剛體沿速度動軸方向作螺旋運動或瞬時螺旋運動，也即剛體沿速度動軸的軸向平移和繞速度動軸轉動的合成運動。

1 定理的提出

軸向速度投影定理：空間任意運動剛體上各點的速度沿角速度矢方向上的投影相等。

圖1 軸向速度投影定理的證明

由于點A 和B 是剛體上任取的兩點，于是上述定理得證。

軸向速度投影定理表明，剛體沿角速度矢方向上的運動類似于剛體的平移，但與真正的平移是有區別的，因為剛體上各點在垂直于角速度矢的方向上還有旋轉速度，因此將空間任意運動剛體沿角速度矢方向上的運動稱為軸向平移。

2 各種情況下速度瞬軸位置的分析

下面分四種情況討論。

圖2 空間任意運動剛體上速度瞬軸位置的分析

由文獻[3]可知，當 ω與 ωe平行時，剛體的速度瞬軸Z 也與 ω、ωe平行，又= 0，故剛體的速度瞬軸Z 通過點A 并沿 ω方向。此瞬時剛體繞速度瞬軸Z作瞬時轉動或定軸轉動。

2.2.1 剛體的牽連角速度 ωe與 ω平行，如圖3（a）所示。

圖3 空間任意運動剛體上速度瞬軸位置的分析

圖4 空間任意運動剛體上速度瞬軸位置的分析

這里有一個問題要注意，在2.2.1 的情況下，剛體繞自身某軸以角速度矢 ω轉動時，由于固連在該軸上的動系相對于定系作平移，兩坐標系之間沒有相對轉動，故 ω就是絕對角速度矢（等于針對動系的相對角速度矢），如圖7（a）所示；在2.2.2 的情況下，剛體繞自身某軸以角速度矢 ω轉動時，由于固連在該軸上的動系相對于定系作定軸轉動，故 ω不是絕對角速度矢，而是針對動系的相對角速度矢，兩者不相等。

圖5 空間任意運動剛體上速度動軸位置的分析

圖6 空間任意運動剛體上速度動軸位置的分析

3 例題

例 半徑為r 的陀螺繞自身對稱軸OO 旋轉的角速度為 ω，軸OO 繞定軸O1O1作勻速圓周運動（圓柱面運動），其速度為υ，如圖7（a）所示。試確定陀螺的速度瞬軸的位置。

圖7 繞自身對稱軸旋轉的陀螺上速度瞬軸位置的分析