顯式拓撲優化的拉壓桿模型自動提取方法

喬文正 袁維海 辜繼明

doi：10.11835/j.issn.1000.582X.2023.09.008

收稿日期：2022-04-30

基金項目：國家自然科學基金資助項目（41807223， 12102002）；安徽省高校自然科學研究重點項目（KJ2020A0260）；呂梁市科技計劃項目（2022RC24）。

Foundation：Supported by the National Natural Science Foundation of China （41807223， 12102002）， the Natonal Science Foundation Granted by Department of Education，Anhui Province （KJ2020A0260）， and Science and Technology Projects of Lyvliang City （2022RC24）.

作者簡介：喬文正（1986—），男，博士研究生，主要從事結構工程和巖土工程研究，（E-mail）qiaowzh@llu.edu.cn。

通信作者：袁維海，男，副研究員，碩士生導師，（E-mail）yuanwh@hhu.edu.cn。

摘要：為了實現從顯式拓撲優化到拉壓桿模型的自然過渡，同時保持拓撲優化結構與拉壓桿模型的拓撲一致性，以可移動變形組件拓撲優化為例，建立了顯式拓撲優化拉壓桿模型自動提取方法。該方法是計算機圖形學和結構優化的結合，采用Voronoi骨架提取和形狀優化，由骨架提取、框架提取和形狀優化3部分構成。結果表明，該方法自動構建了受力合理且幾何規則的拉壓桿模型；Voronoi骨架提取從顯式拓撲優化結構提取了光滑的中軸骨架；以類桁架指標為約束的形狀優化實現了拉壓桿模型從框架結構到桁架結構的質變。

關鍵詞：顯式拓撲優化；Voronoi圖；骨架；拉壓桿模型

中圖分類號：TU375 ?????????文獻標志碼：A ?????文章編號：1000-582X（2023）09-066-12

Automatic extraction method of strut-and-tie models for explicit topology optimization

QIAO Wenzheng^1，2， YUAN Weihai²， GU Jiming³

（1. Department of Architecture， Lyuliang University， Lyuliang，?Shanxi 033001， P. R. China; 2. College of Mechanics and Materials， Hohai University， Nanjing 211100， P. R. China; 3. School of Management Science and Engineering， Anhui University of Technology， Maanshan， Anhui 243002， P. R. China）

Abstract： To achieve the natural transition from explicit topology optimization to strut-and-tie models， while maintaining the topology consistency between the two， an automatic extraction method of strut-and-tie models using explicit topology optimization was developed. The proposed method is demonstrated using topology optimization based on moving morphable components as an example. It combines computer graphics and structural optimization techniques， employing skeleton extraction based on Voronoi diagram and shape optimization. The method consists of three main steps： skeleton extraction， frame extraction and shape optimization. The results show that the method can automatically generate strut-and-tie models with reasonable force distribution and regular geometry. The skeleton extraction based on Voronoi diagram extracts smooth and medial skeleton from the optimized structure obtained through explicit topology optimization. Shape optimization constrained by truss-like index realizes the qualitative change of strut-and-tie models from a frame structure to a truss structure.

Keywords： explicit topology optimization; Voronoi diagram; skeleton; strut-and-tie models

借助拓撲優化構建拉壓桿模型（strut-and-tie models， STM）已經成為一種共識。根據優化模型的表達方式，拓撲優化可分為隱式拓撲優化和顯式拓撲優化。隱式拓撲優化包括經典的固體各向同性懲罰方法（SIMP）和漸近結構優化方法（ESO）。顯式拓撲優化是顯示邊界演化的一類高效拓撲優化方法。自2014年可移動變形（moving morphable components， MMC）拓撲優化方法^[1]提出以來，顯式拓撲優化^[2?5]迎來了快速的發展。Bruggi^[6]成功地將SIMP方法應用于二維和三維構件拉壓桿模型的研究。Du等^[7]在SIMP方法中引入雙模量本構關系，提出了考慮拉壓不同模量的拓撲優化方法，并成功應用于拉壓桿模型中。Xia等^[8]提出了一種不同拓撲優化的拉壓桿模型自動化評估方法。該方法采用桁架提取算法實現了從拓撲優化結果到桁架模型的自動化，并采用3個定量指標對STM進行評價。Xia等^[9]提出了由拓撲優化、拓撲提取和形狀優化構成的二維STM拓撲優化構建方法，并采用非線性有限元評估STM的結構性能。此后，Xia等^[10]又研究了三維STM的SIMP構建方法。Liang等^[11-12]將性能優化方法成功應用于鋼筋混凝土結構和預應力混凝土結構的拉壓桿模型的研究。Almeida^[13]將光滑ESO方法用于拉壓桿模型的研究，并與ESO方法在計算準確性和效率上進行了比較。劉霞等^[14]采用遺傳ESO算法構建鋼筋混凝土平面構件的拉壓桿模型，并在此基礎上進行配筋優化。Victoria等^[15]將考慮拉壓不同模量的等值線拓撲優化方法用于拉壓桿模型研究。Zhang等^[16]采用分離單元模型的遺傳ESO方法對鋼筋混凝土構件進行受力鋼筋的布局優化，證實了該方法可以有效減少鋼筋用量。Zhong等^[17]將微桁架單元的ESO方法應用于對帶有洞口的缺口梁拉壓桿模型研究，提出了由初步評估、詳細評估和最終評估構成的一套評估體系。Zhong等^[18]將微桁架單元的ESO擴展到三維情況，通過后張拉錨固區、T形梁和箱形梁3個實例證明了該方法在構建三維STM的有效性和正確性。

基于拓撲優化的STM研究多集中在隱式拓撲優化。筆者^[19?20]研究了基于MMC拓撲優化的STM的有效性和高效性，探討了STM的自動提取。作為類桁架的一般化，拉壓桿模型的桿件應為二力桿件。然而，自動提取的STM往往并非桁架結構，受力形式與框架結構類似，稱之為“框架結構”。此外，該框架結構在桿件平行性和對稱性方面也較為欠缺。

從拓撲優化結果到拉壓桿模型，要么人為因素多，隨意性大，要么需要繁瑣的手動操作。為了實現從拓撲優化結構到STM的自動化，借鑒Xia等^[8?10]的思路，建立由骨架提取、框架提取和形狀優化構成的顯式拓撲優化的拉壓桿模型自動提取方法。骨架提取采用計算機圖形學中的Voronoi骨架提取法。在形狀優化中引入類桁架指數，以期實現STM從框架結構到桁架結構的質變，構建受力合理且幾何規則的STM。

1拉壓桿模型自動提取方法

顯式拓撲優化的共同之處在于結構的邊界由拓撲描述函數顯式地表達。以MMC拓撲優化方法為例，進行顯式拓撲優化的STM自動提取。該方法以MMC優化結構為基礎，經過骨架提取、框架提取和形狀優化，最終形成受力合理且幾何規則的STM。STM自動提取方法流程如圖1所示。以下從基本概念、骨架提取、框架提取和形狀優化4部分對STM自動提取方法進行闡述。

1.1基本概念

1.1.1 骨架和中軸

骨架（skeleton）定義為圖形的極大開球的球心的集合。它在角色動畫和網格變形領域廣泛使用。中軸（medial axis）定義為圖形極大內切球球心的集合，在平面圖形中，中軸往往為平面曲線，也稱為中軸線。對于平面圖形，骨架和中軸并不完全相同，區別甚微。為了方便，統一采用骨架來進行敘述，將骨架和中軸完全等同。

1.1.2 Voronoi圖和Delaunay三角剖分

Voronoi圖是根據1組共面點對平面的1種剖分。在每一點周圍形成1個多邊形，多邊形內任一點到該點的距離比到組中其他點的距離更近。組中所有點的Voronoi多邊形的集合稱為Voronoi圖。由于Voronoi在平面部分上的等分性特征，可以用來近似平面圖形的骨架。Delaunay三角剖分是將平面劃分為一系列相連且不重疊的三角形，此三角形是滿足空圓性質的一種三角劃分。

1.1.3 Crust算法

Crust算法^[21?22]是一種由平面點集構建最可能的多段線算法。對于平面問題，crust算法即為把無序點連成線的過程。如果取樣點足夠密，那么多段線將越光滑。Crust算法與Voronoi圖和Delaunay三角剖分有密切關系。圖2為平面圖形邊界離散點的Voronoi圖。根據Voronoi邊在平面圖形的位置，將Voronoi邊分為3類：完全在區域內、部分在區域內和完全在區域外。只保留完全在平面圖形區域內的Voronoi邊，形成了該平面圖形的骨架。若對邊界離散點進行Delaunay三角剖分，Delaunay三角形的自由邊構成了平面圖形的近似多段線邊界，如圖3所示。

1.2骨架提取

為了從二維優化結構提取一維STM，需要進行骨架提取。根據是否采用模型的內部信息，骨架提取大體上可分為實體方法和幾何方法兩大類。實體方法又分為細化方法和距離場方法。常見的幾何方法包括Voronoi圖法^[23?24]、Reeb圖法和拉普拉斯方法。對于具有顯式邊界的MMC方法，幾何方法更加適合。拉普拉斯方法多用于由點云表達的空間問題。故對MMC拓撲優化的STM提取采用Voronoi骨架提取法。

MMC方法采用結構拓撲描述函數的零水平集表示結構的邊界。這些零水平集的元素形成了優化結構邊界的離散點。在優化結構邊界與設計域邊界相交處添加部分結點，即可形成完整的優化結構邊界離散點。繪制該邊界離散點的Voronoi圖，并通過crust算法形成優化結構的近似邊界。采用點的區域內外識別算法，只保留完全在優化結構區域內的Voronoi邊，形成帶有分支的骨架。最后，通過分支修剪方法^[24?25]，形成多段線骨架。總之，骨架提取實現了從二維優化結構到一維多段線骨架的過渡。

1.3框架提取

多段線骨架由多條平面曲線組成，而STM由多條平面直線組成。從平面曲線到平面直線的過程稱之為“框架”提取。框架指提取結果的結構類型往往為框架結構。框架提取可分為候選結點識別、最終結點識別和框架結構構建3個步驟。在多段線骨架中，按端點所處的位置，候選結點可分為端結點、中間結點和分支結點。遍歷骨架結點，形成骨架結點的連接關系。只有1個與之相連的結點為端結點，2個與之相連的結點為中間結點，3個及以上與之相連的結點為分支結點。將端結點和分支結點當作候選結點。

若候選結點相距較近，對其進行適當簡化。一般來說，如果2個結點的距離小于1個容許值（可取構件較大邊長的5%），這2個結點可簡化為1個結點，即它們的中點。對于多個相距較近候選結點，從2個最近的結點開始，重復上述的2點簡化規則，直到所有點之間的距離不小于這個容許值。為了避免形成較短桿件，對特殊結點，如荷載作用點和支座結點，需進行特殊處理。若候選結點距特殊結點較近時，直接向特殊結點簡化即可，相當于刪除距特殊結點較近的候選結點。

構建框架結構，需要確定最終結點的連接關系。首先，由于優化結構和骨架具有拓撲一致性，可采用優化結構的洞口信息當作骨架洞口信息。優化結構的洞口采用優化結構的近似邊界來識別。優化結構的近似邊界通常為多條閉合多段線，每條閉合多段線形成一個多邊形，優化結構為最大多邊形與其余多邊形的布爾差，最大多邊形的邊界對應于優化結構的外邊界，其余多邊形的邊界對應于優化結構的洞口邊界。遍歷洞口和最終結點，分別儲存洞口周邊的結點信息和結點附近的洞口信息。其次，將結點信息和洞口信息相結合，以洞口中心為坐標原點，按逆時針將與該洞口相關的結點依次連接。最后，將荷載作用點和支座結點與最近的結點相連接，可得與優化結構相對應的框架結構。

1.4形狀優化

自動提取的框架結構的受力合理性和幾何規則性均有所欠缺，可由形狀優化來加以改善。為了形成軸力為主的STM，采用類桁架指標作為衡量框架結構與桁架結構的相似度。以類桁架指標為約束的形狀優化，最早由Xia等^[8?10]提出并成功應用于STM的拓撲優化構建。以框架結構的自由結點為設計變量，以類桁架指標為約束條件，框架結構的應變能達到最小時，框架結構近似為桁架模型。在形狀優化中，可施加平行和對稱約束，使STM更加簡單實用。

1.4.1 類桁架指標

采用框架單元對框架結構進行有限元分析，進而獲得各框架單元的內力。為了減小框架單元所受的彎矩和剪力，采用長細比較大的框架單元。框架單元橫截面為矩形，其寬度與構件寬度相同，高度取寬度的0.01倍。由于彎矩和剪力的存在，桿件不再是軸向受力桿件。因此，類桁架指標可定義為

1.4.2 優化列式

在類桁架指標的約束下，使框架結構總應變能達到最小的形狀優化問題，可表示為

式中：x為形狀優化的設計變量，即框架結構可變結點的坐標列向量；C（x）和I（x）分別為形狀優化的目標函數和約束函數；K（x）、F和u（x）分別為框架結構的整體剛度矩陣、荷載列陣和位移列陣；x_max和x_min分別為設計變量的上下限；I_t（x）和I_t，min分別為類桁架指標和類桁架指標的最小值，I_t，min可取接近于1的值，如0.995。

2數值實現

框架結構有限元分析中，各單元結點間既可以傳遞軸力，也可以傳遞彎矩和剪力。框架單元自由度如圖4所示。框架單元由2個結點i和j構成，每個結點各3個自由度，單元的局部和整體坐標自由度分別為u_e=[u_i1，u_i2，u_i3，u_j1，u_j2，u_j3]^T和U_e=[U_i1，U_i2，U_i3，U_j1，U_j2，U_j3]^T。u_e可由U_e和轉換矩陣T得出：

u_e=TU_e，（3）

其中，

框架單元在整體坐標系下的單元剛度矩陣為

K_e=T^TK_elT， （5）

其中，

形狀優化采用MMA算法作為最優化算法。目標和約束函數的梯度采用中心差分法求解，步長取單元尺寸的0.1倍，直到設計變量的最大波動小于0.001 m。對于平行和對稱約束，可以通過減少相應的設計變量來實現。

3數值算例

對混凝土結構中單側牛腿和開洞深梁，采用Voronoi提取法自動構建框架結構，并對框架結構進行形狀優化，獲得類桁架結構的STM。拓撲優化采用MMC拓撲優化代碼^[26]。為了便于理解，在STM提取中，采用統一的表示方法：候選結點采用藍色方形點表示，最終結點采用綠色圓形點表示，形狀優化后的結點用藍色圓形點表示，拉或壓桿采用紅色實線表示。

3.1單側牛腿

單側牛腿的計算簡圖和MMC優化結構如圖5所示。MMC拓撲優化的參數和過程見文獻[19]。

MMC優化結構的邊界由677個已知坐標的二維點進行離散，采用crust算法計算該優化結構的近似邊界。該邊界由6條閉合多段線構成，6條閉合多段線又構成6個多邊形。MMC優化結構由最大的多邊形與其余5個多邊形的布爾差運算生成，MMC優化結構的5個洞口則對應5個較小的多邊形（見圖6（b）中5種不同顏色的區域）。

復雜的拓撲需要較多的邊界離散點，較多的邊界離散點生成了較復雜的Voronoi圖。經過內外識別，可以生成帶有少量細小分支的骨架。經修剪后，可以獲得由多段線構成的理想骨架。該骨架較好地滿足了拓撲一致性、細性、光滑性和中軸性。

在候選結點識別中，可識別出3個端結點和11個中間結點。若2個候選結點的距離小于135 mm，進行結點簡化。若候選結點距支座和荷載結點較近，為了避免較小桿件，只保留支座和荷載結點。

由拓撲一致性可知，骨架和優化結構的拓撲等價。因此，骨架和優化結構具有相同的洞口信息。單側牛腿結點和洞口信息如表1所示。以洞口中心為原點，從正北方向開始逆時針依次連接各結點，形成最終的STM，如圖7所示。

在形狀優化中，以類桁架指標為約束條件，框架結構中共11個結點，其中8個結點為自由結點。若只考慮變量的上下限約束，該形狀優化共16個設計變量，優化后結構的類桁架指標由0.96增加到1.00。優化后，最為明顯的變化是與荷載作用點相連的桿件由傾斜變為豎直，這就保證了該桿件為軸向受壓桿件，實現了由框架結構向桁架結構的轉變。若考慮部分桿件的平行約束，設計變量數由16減少為14；若再增加沿水平方向的對稱性約束，設計變量數由16減少為10。單側牛腿形狀優化如圖8所示。單側牛腿形狀優化前后結點平面坐標如表2所示。

3.2開洞深梁

開洞深梁是一類重要的混凝土構件，洞口使得深梁應力分布趨于復雜。開洞深梁的計算簡圖和MMC優化結構如圖9所示。MMC拓撲優化中，混凝土彈性模量為2 0820 MPa，泊松比為0.15，構件的厚度為400 mm，容許體積比為0.35。采用四結點的等參平面應力單元對設計域進行有限元離散，有限元單元的邊長為50 mm，有限單元總數為13 200。開洞深梁初始拓撲由36個組件構成。經過309次迭代，達到最優拓撲，最小柔度目標值為17.11 kJ。

開洞深梁MMC優化結構的邊界由1 280個點進行離散。通過crust算法形成優化結構的近似邊界（見圖10（b））。通過近似邊界分析，可識別出該優化結構有3個洞口。開洞深梁邊界離散點的Voronoi圖，如圖11所示。開洞深梁骨架和框架提取分別如圖12和圖13所示。

在開洞深梁的STM中，左側的傾斜桿件部分跨越了洞口，如圖14（a）所示，這一點可以在形狀優化中通過約束加以解決。形狀優化后STM，如圖14（b）所示。開洞深梁形狀優化前后結點平面坐標，如表3所示。

4結??論

針對MMC拓撲優化的STM構建，利用Voronoi骨架提取和形狀優化，建立了顯式拓撲優化的STM自動提取方法，并通過單側牛腿和開洞深梁驗證了其有效性，得到如下結論：

1）?STM自動提取方法構建了受力合理且幾何規則的STM。

2）?Voronoi骨架提取法從MMC優化結構提取了光滑的中軸骨架。

3）以類桁架指數為約束的形狀優化實現了STM從框架結構到桁架結構的質變。

參考文獻

［1］??Guo X， Zhang W S， Zhong W L. Doing topology optimization explicitly and geometrically—a new moving morphable components based framework[J]. Journal of Applied Mechanics， 2014， 81（8）： 081009.

［2］??Zhang W S， Yang W Y， Zhou J H， et al. Structural topology optimization through explicit boundary evolution[J]. Journal of Applied Mechanics， 2017， 84（1）： 011011.

［3］??Zhang W S， Li D D， Kang P， et al. Explicit topology optimization using IGA-based moving morphable void （MMV） approach[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2020， 360： 112685.

［4］??Yang H， Huang J Y. An explicit structural topology optimization method based on the descriptions of areas[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2020， 61（3）： 1123-1156.

［5］??Zhu B L， Wang R X， Wang N F， et al. Explicit structural topology optimization using moving wide Bezier components with constrained ends[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2021， 64（1）： 53-70.

［6］??Bruggi M. Generating strut-and-tie patterns for reinforced concrete structures using topology optimization[J]. Computers & Structures， 2009， 87（23/24）： 1483-1495.

［7］??Du Z L， Zhang W S， Zhang Y P， et al. Structural topology optimization involving bi-modulus materials with asymmetric properties in tension and compression[J]. Computational Mechanics， 2019， 63（2）： 335-363.

［8］??Xia Y， Langelaar M， Hendriks M A N. A critical evaluation of topology optimization results for strut-and-tie modeling of reinforced concrete[J]. Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering， 2020， 35（8）： 850-869.

［9］??Xia Y， Langelaar M， Hendriks M A N. Automated optimization-based generation and quantitative evaluation of Strut-and-Tie models[J]. Computers & Structures， 2020， 238： 106297.

［10］??Xia Y， Langelaar M， Hendriks M A N. Optimization-based three-dimensional strut-and-tie model generation for reinforced concrete[J]. Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering， 2021， 36（5）： 526-543.

［11］??Liang Q Q， Xie Y M， Steven G P. Topology optimization of strut-and-tie models in reinforced concrete structures using an evolutionary procedure[J]. ACI Structural Journal， 2000， 97（2）： 322-331.

［12］??Liang Q Q， Xie Y M， Steven G P. Generating optimal strut-and-tie models in prestressed concrete beams by performance-based optimization[J]. ACI Structural Journal， 2001， 98（2）： 226-232.

［13］??Almeida V S， Simonetti H L， Neto L O. Comparative analysis of strut-and-tie models using Smooth Evolutionary Structural Optimization[J]. Engineering Structures， 2013， 56： 1665-1675.

［14］??劉霞， 易偉建. 鋼筋混凝土平面構件的配筋優化[J]. 計算力學學報， 2010， 27（1）： 110-114.

Liu X， Yi W J. Reinforcement layout optimization of RC plane components[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics， 2010， 27（1）： 110-114.（in Chinese）

［15］??Victoria M， Querin O M， Martí P. Generation of strut-and-tie models by topology design using different material properties in tension and compression[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2011， 44（2）： 247-258.

［16］??Zhang H Z， Liu X， Yi W J. Reinforcement layout optimisation of RC D-regions[J]. Advances in Structural Engineering， 2014， 17（7）： 979-992.

［17］??Zhong J T， Wang L， Deng P， et al. A new evaluation procedure for the strut-and-tie models of the disturbed regions of reinforced concrete structures[J]. Engineering Structures， 2017， 148： 660-672.

［18］??Zhong J T， Wang L， Zhou M， et al. New method for generating strut-and-tie models of three-dimensional concrete anchorage zones and box girders[J]. Journal of Bridge Engineering， 2017， 22（8）： 04017047.

［19］??Qiao W Z， Chen G R. Generation of strut-and-tie models in concrete structures by topology optimization based on moving morphable components[J]. Engineering Optimization， 2021， 53（7）： 1251-1272.

［20］??喬文正， 陳國榮， 路國運. 基于可移動變形組件拓撲優化方法的梁柱節點拉壓桿模型研究[J]. 太原理工大學學報， 2021， 52（3）： 444-449.

Qiao W Z， Chen G R， Lu G Y. Research on strut-and-tie models of beam-column connections by topology optimization based on moving morphable components[J]. Journal of Taiyuan University of Technology， 2021， 52（3）： 444-449.（in Chinese）

［21］??Amenta N， Bern M， Eppstein D. The crust and the beta-skeleton： combinatorial curve reconstruction[J]. Graphical Models and Image Processing， 1998， 60（2）： 125-135.

［22］??Amenta N， Choi S H， Kolluri R K. The power crust， unions of balls， and the medial axis transform[J]. Computational Geometry-Theory and Applications， 2001， 19（2/3）： 127-153.

［23］??Ogniewicz R， Ilg M. Voronoi skeletons： theory and applications[C]//1992 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition， June 15-18， 1992， Illinois， USA. California： IEEE Computer Society Press， 1992： 63-69.

［24］??Karimipour F， Ghandehar M. Voronoi-based medial axis approximation from samples： issues and solutions[C]//Gavrilova M L， Tan C J K， Kalantari B. International Symposium on Voronoi Diagrams， June 27-29， 2012， NJ， USA. Berlin： Springer， 2013.

［25］??Shen W， Bai X， Yang X W， et al. Skeleton pruning as trade-off between skeleton simplicity and reconstruction error[J]. Science China Information Sciences， 2013， 56（4）： 048101.

［26］??Zhang W S， Yuan J， Zhang J， et al. A new topology optimization approach based on Moving Morphable Components （MMC） and the ersatz material model[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2016， 53（6）： 1243-1260.

（編輯??陳移峰）