數學美在初中數學思想方法中的體現與教學感悟

廣東省汕頭市第一中學(515000) 廖馥蘭

古希臘學者畢達哥拉斯說:“美就是和諧,整個天體是一種和諧,宇宙的和諧是由數組成的,因而構成了整個宇宙的美.”世間萬物都有其獨特的美,而我們需要一雙發現美的眼睛.2020 年10 月,中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發了《關于全面加強和改進新時代學校美育工作的意見》,明確把美育納入學校人才培養全過程,健全面向人人的學校美育育人機制.美育不只是局限在音樂、美術等藝術課程,還應包括各學科所蘊含的學科美,比如數學美,讓學生在學習學科過程中感受美、發現美、欣賞美.《義務教育數學課程標準(2022 年版)》中總目標提出: 通過義務教育階段的數學學習,學生逐步會用數學的眼光觀察現實世界,會用數學的思維思考現實世界,會用數學的語言表達現實世界,學生能了解數學的價值,欣賞數學美.[1]在教學過程中,啟發學生的數學思維、培養學生的數學思想方法、培養學生發現和欣賞數學美的能力,是數學課程需要實現的一個重要目標.

1 中學生學習數學的現狀及存在的問題

從認知發展的理論,我們知道青少年的認知發展特點從具體形象向抽象思維發展.初中階段的學生處于抽象思想的發展和完善階段,不再將思維局限于具體的事物上,開始運用抽象的概念,能提出合理可行的假設并進行驗證.初中數學學科內容也增加了不少抽象的概念和定理,如函數等,注重培養學生的抽象思維能力.但由于中考的升學要求,許多學校的數學教學注重學生的解題和應試能力、對知識的理解和應用、對題目的準確作答,忽視數學思維、數學思想方法的培養,忽略數學美的欣賞.這樣的應試教學不利于學生的認知發展,不利于培養學生的數學核心素養,學生對數學的認識只停留在抽象的知識和解題的套路,沒有感受和欣賞數學美,對數學學習失去興趣和熱情.

在中學數學教學中,數學思想方法是十分重要的思維方法和解題技能,但對學生來說,它也是抽象、晦澀難懂的.如果我們在教學中滲透數學美,學生在學習數學的知識與方法的同時欣賞著數學的美,會發現數學的趣味與美妙,而不再是枯燥無味的抽象理論,還能提高學生學習數學的興趣和熱情.

2 數學美在初中數學思想方法中的體現

數學的美是無處不在的,數學概念、定理、公式、解題思想方法等都有數學美的身影,它的美含蓄不張揚卻讓人賞心悅目.數學美主要表現在簡潔美、對稱美、和諧美、奇異美[2]等方面,我們在教學中培養學生欣賞數學美的能力,不應只是簡單、直接地介紹,或是單純地欣賞數學美表面的美好,而是結合學科內容,更深層次地融合數學思想方法去感受和欣賞數學美,體會數學美在學科知識和解題方法上的作用.數學思想方法包括數學思想和數學方法,數學思想是對數學知識、方法和規律的一種本質認識,數學方法是解決數學問題的策略和程序,是數學思想的具體反映.數學思想是數學方法的靈魂,數學方法是數學思想的表現形式和得以實現的手段,人們把它們合稱為數學思想方法[3].初中階段涉及的數學思想方法主要有: 數形結合思想、分類討論思想、整體思想、轉化思想、歸納思想、類比思想、函數思想、方程思想、反證法等,在培養學生的數學思想方法過程中,融合數學美的欣賞和感悟,能提高學生的審美情趣,提高學生的思維能力,培養學生的核心素養.

2.1 簡潔美

數學是嚴謹而簡練的,它的簡潔美體現在數學語言和數學方法上的簡潔.數學公式定理的表達就體現了符號語言的簡潔性,數學方法是為了實現將問題化繁為簡的目的.

2.1.1 轉化思想中的簡潔美

比如解一元二次方程,不管是配方法還是因式分解法,都是將一元二次方程轉化為一元一次方程求解,運用轉化思想對方程進行降次化簡,體現了數學思想方法上化繁為簡的簡潔美.這樣類似的轉化思想的運用和簡潔美的體現還有很多,代數方面有運用消元法將二元或三元方程組轉化為一元方程求解,有運用“去分母”將分式方程轉化為整式方程求解等,幾何方面有將四邊形或多邊形的問題轉化為三角形求解,有運用“平面展開”將空間幾何體的表面積轉化為平面幾何圖形的面積求解,有運用“截面法”將空間幾何問題轉化為平面幾何求解等.數學的轉化思想將高次化為低次、多元化為一元、立體化為平面等化繁為簡的過程,無不讓人感受著數學的簡潔美.

2.1.2 整體思想、換元法中的簡潔美

例1(1)已知x0為方程x2-8x+9=0 的一個實數根,求的值;

(2)已知a,b為方程x2+x-2022=0 的兩個不等的實數根,求a2+2a+b的值.

解: (1)∵x20-8x0+9=0,∴x20-8x0=-9,

(2)∵a,b為方程x2+x-2022=0 的兩個不等的實數根,∴a2+a-2022=0,即a2+a=2022,且a+b=-1,∴a2+2a+b=a2+a+(a+b)=2022-1=2021.

如果例1(1)通過先求解方程的實數根再代入所求的式子,需要討論不同解的情況,將會花費不少時間,但是利用方程的解滿足x20-8x0+9=0,把它看作整體代入式子直接求解,問題很快解決,方法簡單直接.例1(2)考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數的關系(韋達定理):運用數學的整體思想,不求解方程的實數根,直接代換,實現問題的解決,化繁為簡、化難為易,體現了數學的簡潔美.

圖1

當所求問題很難或無法通過有限的列舉法得到時,歸納思想就發揮了重要作用,讓學生從有限的項發現規律,歸納并寫出簡明統一的表達式,進而可以求出任何一項,表現了包含規律性的簡潔美.

2.2 對稱美

數學的對稱美主要表現在幾何圖形的對稱、一些定理公式的對稱等,在初中階段常見的有圖形的軸對稱和中心對稱,還有函數圖象的對稱性等.在解決一些問題時,對稱美發揮了關鍵的作用.比如最短路徑問題、函數增減性的運用問題等.

例3 如圖2,在等邊三角形ABC中,AD是BC邊上的高,E為AC的中點,P為AD上一動點.若AD=12,試求PC+PE的最小值.

圖2

解: 如圖3,連接PB,BE.?ABC是等邊三角形,AD⊥BC,∴PC=PB.∴PE+PC=PE+PB≥BE,即當B,P,E三點共線時,PC+PE取得最小值為BE.∵AD=12,點E是邊AC的中點,∴BE=AD=12.∴PE+PC的最小值是12.

例3 運用等邊三角形的對稱性、垂直平分線的性質將PC+PE轉化為PB+PE,利用“兩點間線段最短”求得最值.利用對稱性實現轉化思想,是數學對稱美的靈活運用.

2.3 和諧美

數學的和諧美,或稱統一美,表現在各種數學形式在不同層次的高度統一和協調,是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之間所存在的內在聯系或共同規律.[2]初中階段的數形結合思想、方程思想等已初步展示了數學和諧美的特征.

2.3.1 數形結合中的和諧美

數形結合思想,把問題的數量關系轉化為圖形的性質,或將圖形的性質轉化為數量關系是數學活動中的一種十分重要的思維策略.數與形的結合,使得幾何問題用代數工具解決,也使代數問題化為幾何直觀化,實現問題化難為易,是數學和諧美的完美體現.

例4如圖4,菱形ABCD的頂點分別在反比例函數的圖象上,且邊長為則菱形ABCD的面積為_____.

圖4

圖5

2.3.2 方程思想中的和諧美

例5如圖6,將正方形紙片ABCD對折,使AB與CD重合,折痕為EF.如圖7,展開后再折疊一次,使點C與點E重合,折痕為GH,點B的對應點為點M,EM交AB于點N.若AD=2,則MN的長是多少?

初中數學的圖形折疊變換是一個考點,解決折疊變換問題的一個關鍵思路是方程思想,找出圖形變換后的等量關系(如勾股定理),設未知量列出方程進而求解.這種幾何圖形變換問題運用代數方程思想來解決的方法,充分運用代數工具協助解決幾何問題,展現了數學的和諧美.

3 教學感悟

數學思想方法是揭示數學規律的重要工具,是實現將數學問題化繁為簡、化難為易的重要策略和方法,眾多巧妙的數學思想方法所蘊含的數學美遠不止本文例子中提到的.數學美讓原本抽象的數學問題變得趣味和生動,讓人們在數學知識的海洋里感受數學美的熏陶并熱愛數學.教師應在自身感受、欣賞和發現數學美的同時,將數學美傳播給學生.首先,從課本內容中挖掘數學美.如數學概念的表達、公式的提出、定理的數學語言表達和證明,甚至數學家對問題的提出與證明過程等,都蘊含著數學的簡潔美、對稱美、和諧美等,讓學生在數學課堂上不只是接收數學知識,還感受其中所蘊含的數學思想方法和數學美,感受數學美給數學家帶來的靈感和幫助,數學課不再是枯燥無味的公式運算,而是充滿數學美的欣賞與感悟.其次,在解題過程中找尋數學美.在解題思路和方法中,找尋數學思想方法所蘊含的數學美,發現數學美在解題中發揮的奇妙作用,讓解題從機械單調的運算變成發現美和欣賞美的旅程,使學生帶著輕松和愉悅的心情解題,提高了學習熱情和學習效率.最后,設置教學活動發現數學美,結合教學內容設置有趣的數學活動,如測量學校旗桿的高度、研究商場打折銷售策略、研究最短路徑問題等,讓學生運用所學的數學知識解決實際問題,感受數學的趣味性和應用性,發現數學美的存在.

結合培養學生的數學思想方法,培養學生發現和欣賞數學美的能力,讓數學課堂生動有趣、感受美的熏陶、陶冶情操,不僅激發學生數學學習的興趣,提高學習質量,提高解決問題能力,還能培養學生的審美情趣,促進學生數學核心素養的發展.所以,我們要帶著發現美的眼睛,在數學教學中培養學生數學思想方法的同時,培養學生欣賞數學美的能力.