問(wèn)題導(dǎo)向提升思維能力變式教學(xué)培養(yǎng)核心素養(yǎng)
——以“橢圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題”為例

江蘇省常州市戚墅堰高級(jí)中學(xué)(213000) 周舒儀

隨著普通高中課程改革和高考綜合改革的深入推進(jìn)(高考數(shù)學(xué)科提出5 項(xiàng)關(guān)鍵能力: 邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力,以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng): 數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析).問(wèn)題導(dǎo)向教學(xué)是一種以問(wèn)題為中心,教師按照事先制訂的教學(xué)目標(biāo),與學(xué)生進(jìn)行思維碰撞,發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探究問(wèn)題、解決問(wèn)題的教學(xué)方式.變式教學(xué)指教師有目的、有計(jì)劃地對(duì)命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化的教學(xué)方式,它主張保持問(wèn)題的本質(zhì)特征,將問(wèn)題的非本質(zhì)屬性不斷遷移,通過(guò)深化認(rèn)知的一系列策略與途徑,在動(dòng)態(tài)教學(xué)中把握數(shù)學(xué)本質(zhì)[1].問(wèn)題導(dǎo)向教學(xué)和變式教學(xué)都符合新課改的要求,同時(shí)對(duì)于提高學(xué)生關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)都具有重要意義.本文以“橢圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題”為例,從2020 年全國(guó)卷的解析幾何題入手,設(shè)計(jì)了一系列變式和問(wèn)題.

1 教學(xué)背景概述

1.1 教學(xué)目標(biāo)

表1 教學(xué)目標(biāo)

1.2 學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對(duì)象為常州市戚墅堰高級(jí)中學(xué)高三理科班級(jí)學(xué)生.在前一階段的學(xué)習(xí)中,學(xué)生已完成了解析幾何專題的一輪復(fù)習(xí),對(duì)用坐標(biāo)法和數(shù)形結(jié)合思想解決曲線問(wèn)題有了一定感悟.但橢圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題對(duì)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)要求較高.同時(shí)班級(jí)學(xué)生在知識(shí)整合、綜合運(yùn)用方面的能力不足,對(duì)于此類問(wèn)題有畏難情緒.

1.3 內(nèi)容分析

解析幾何中的定點(diǎn)定值問(wèn)題一直是高中數(shù)學(xué)的熱點(diǎn),也在高考試題中頻繁出現(xiàn),比如,2022 年新高考全國(guó)I卷第21題,2020 年高考全國(guó)I卷理科第20 題、2020 年高考山東卷第22 題、2019 年高考全國(guó)Ⅲ卷理科第20 題等,均涉及定點(diǎn)或定值問(wèn)題.這類問(wèn)題的綜合性強(qiáng),解析過(guò)程中對(duì)邏輯思維和計(jì)算能力的能力要求較高.

2 基于變式教學(xué)的活動(dòng)設(shè)計(jì)

2.1 概念性變式和過(guò)程性變式

概念性變式和過(guò)程性變式都注重探求問(wèn)題的本質(zhì),但概念性變式旨在加深學(xué)生對(duì)概念的理解,掌握基本知識(shí),側(cè)重研究“是什么”這個(gè)問(wèn)題,多采用“一題多變”的形式;過(guò)程性變式注重引導(dǎo)學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),掌握基本思想和技能,強(qiáng)調(diào)回答“怎么做”問(wèn)題,多采用“一題多解”、“多題歸一”的形式[2].

2.1.1 “一題多變”構(gòu)建知識(shí)框架

師: 現(xiàn)在老師將本題條件“P,Q是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)”刪除,將結(jié)論“kAP·kAQ=”變成條件,畫(huà)圖取特殊位置,根據(jù)橢圓對(duì)稱性和問(wèn)題2 進(jìn)行猜測(cè),直線AB恒過(guò)定點(diǎn)是什么?

生2: 直線AB恒過(guò)原點(diǎn).

2.1.2 “一題多解”把握問(wèn)題本質(zhì)

整理得(4k2+1)x1x2+(4km-4k)(x1+x2)+4(m-1)2=0.

(*)代入得

(4k2+1)(4m2-4)+(4km-4k)(-8km)+4(m-1)2(1+4k2)=0.

整理得8m(m-1)=0,又∵m≠1,∴m=0,∴直線AB的方程為y=kx,∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(0,0).

方法四: 平移坐標(biāo)系,齊次化構(gòu)造[2].

2.1.3 “多題歸一”掌握通性通法

變式1-2過(guò)橢圓=1(a>b> 0)上一點(diǎn)P(x0,y0)作斜率分別為k1,k2的兩條直線,交橢圓E于異于點(diǎn)P的A,B兩點(diǎn).若k1·k2=λ,則直線AB恒過(guò)定點(diǎn).

師: 根據(jù)剛才的探究,我們有哪些方法可以用于解決這類問(wèn)題呢?

生3 小結(jié)思路:

①方法一: 畫(huà)圖,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,猜測(cè)定點(diǎn)位置.特殊位置,先猜后證.

②方法二: 設(shè)線解點(diǎn),寫(xiě)出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo),點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線AB的方程,利用k1·k2為定值消參,找出定點(diǎn).

③方法三: 設(shè)而不求,設(shè)直線AB的方程,韋達(dá)定理消元,找到直線AB方程中兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系,從而消參找出定點(diǎn).

④方法四: 平移坐標(biāo)系,齊次化構(gòu)造.

師: 很好! 同學(xué)們已經(jīng)掌握了這四種方法,當(dāng)我們解決其他橢圓中的定點(diǎn)問(wèn)題時(shí),這四種方法會(huì)有什么優(yōu)勢(shì)和局限呢? 請(qǐng)大家小組討論.

生4: 方法一更加適用于選擇填空題,或者是過(guò)原點(diǎn)這類特殊點(diǎn)的問(wèn)題.方法二和方法三適用范圍比較廣,其中方法二在定點(diǎn)不是原點(diǎn)的情況下,計(jì)算難度較大.方法四對(duì)于求一類已知斜率之和和斜率之積的問(wèn)題計(jì)算比較簡(jiǎn)單,其他情況不適用.

2.2 水平變式和垂直變式

廣州大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授孫旭花研究表明: 每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題可分解為表面形式特征和深層數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征.新問(wèn)題相較于舊問(wèn)題而言,僅出現(xiàn)表面形式的變化稱為水平變式,出現(xiàn)深層結(jié)構(gòu)的變化稱為垂直變式.

2.2.1 水平變式拓寬廣度

師: 問(wèn)題1 這個(gè)常用結(jié)論是如何敘述的?

2.2.2 垂直變式延展深度

師: 讀題,請(qǐng)你來(lái)說(shuō)說(shuō),本題和變式1-2 在題意上有什么聯(lián)系?

生6: 他們都是已知兩條直線的關(guān)系,求證直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,針對(duì)解決這類問(wèn)題的一種通性通法,我們可以利用關(guān)注方法三,即設(shè)而不求,設(shè)直線AB的方程,韋達(dá)定理消元,找到直線AB方程中兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系,從而消參找出定點(diǎn).

師: 根據(jù)方法三,我們會(huì)有如下解題過(guò)程:

師: 本題和變式1-2 在消參的過(guò)程中上有什么不同?

生7: 本題中雖有y1y2結(jié)構(gòu),但是沒(méi)有出現(xiàn)y1+y2,無(wú)法利用韋達(dá)定理直接代入消元.

師: 同桌討論,思考造出現(xiàn)這種“非對(duì)稱結(jié)構(gòu)”的原因是什么?

生8: 變式1-2 已知斜率的兩條直線是由一個(gè)點(diǎn)引出的,而變式1-4 是由兩個(gè)點(diǎn)引出的直線.

師: 如何將非對(duì)稱結(jié)構(gòu)變成對(duì)稱結(jié)構(gòu)呢? 我們可以試著從變式1-3 中找到思路.

師: 我們一起完成了兩個(gè)題目,分別解決了已知橢圓中直線的斜率之積、斜率之比為定值,直線過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題,根據(jù)以上的探究,相信你也有了一些想法,你能否將題目條件稍做變化,編制一個(gè)變式1-5 的變式呢?

師: 非常好,同學(xué)們已經(jīng)能夠掌握問(wèn)題的本質(zhì),將定點(diǎn)和定值問(wèn)題的網(wǎng)成功編織起來(lái)了.

3 教學(xué)反思

本節(jié)課從2020 年全國(guó)卷的解析幾何題入手,根據(jù)“手電筒模型”和“蝴蝶模型”之間的聯(lián)系設(shè)計(jì)了一系列問(wèn)題和變式,在課堂中探究一類定點(diǎn)問(wèn)題與定值問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中不僅掌握基本知識(shí),還進(jìn)一步加強(qiáng)了學(xué)生思考問(wèn)題的深刻性、跨越性、綜合性.

從本節(jié)課的教學(xué)實(shí)錄來(lái)看,將問(wèn)題導(dǎo)向教學(xué)和變式教學(xué)作為手段,由淺入深、層層遞進(jìn),圍繞“定點(diǎn)定值問(wèn)題的本質(zhì)是什么? ”、“如何解決定點(diǎn)定值問(wèn)題? ”、“如何將復(fù)雜的非對(duì)稱結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為熟悉的對(duì)稱結(jié)構(gòu)? ”、“定點(diǎn)定值問(wèn)題有什么聯(lián)系? ”設(shè)計(jì)了一系列的變式問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生抓住題目中的“變”與“不變”,設(shè)定合理的變量,準(zhǔn)確把握各變量的關(guān)系.同時(shí)以概念性變式和過(guò)程性變式為依托,探求問(wèn)題本質(zhì);以水平變式和垂直變式“織網(wǎng)”,覆蓋知識(shí)性內(nèi)容的方方面面.在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中,問(wèn)題導(dǎo)向教學(xué)和變式教學(xué)的融合運(yùn)用激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò),實(shí)現(xiàn)了知識(shí)結(jié)構(gòu)的內(nèi)化,有效鍛煉數(shù)學(xué)思維能力,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).