復雜環境下雷達抗干擾及多功能一體化波形設計方法研究

范 文,李淳澤,趙 勇,張 航

(中國電子科技集團公司第五十四研究所,河北 石家莊 050081)

0 引言

隨著衛星、無線電臺、電視、雷達、通信、導航等各類服務和系統的廣泛使用,不斷增長的業務和應用使得有限的頻譜資源供需矛盾日益突出,雷達工作的電磁環境也日益復雜。為避免雷達與其他電磁設備的相互干擾,提升雷達在復雜電磁環境的適應能力,需設計行之有效的雷達抗干擾技術[1-2]。目前雷達抗干擾技術主要解決方案有三類:一是開展電子系統綜合一體化的研究,如雷達通信一體化研究,即雷達與通信系統共享同一頻譜,同一硬件平臺,研究一體化信號設計與處理以及系統集成方案來同時實現探測和通信雙功能[2-4];二是基于波形設計的研究,即設計雷達波形時有意避開被其他系統所占用或干擾存在的頻段,例如在其他系統占用(或干擾存在)的頻帶形成頻譜零陷/凹口等[5-7];三是無源態雷達技術,即利用現有用頻系統所發射的信號實現目標檢測和參數估計[8]。

波形設計技術可使電子系統從發射端即贏得主動,根據系統工作的環境,通過不斷調整發射波形以適應日益復雜的電磁環境,從而有效提升系統性能(如通信抗干擾性能,雷達目標檢測、跟蹤、成像及抗干擾等)。此外,高性能信號處理器件、任意波形產生器等的出現也為實時動態發射波形提供了可能[9-12]。基于此,本文從波形設計角度開展雷達抗干擾和多功能一體化波形設計方法研究。

1 研究現狀

通常,雷達發射機的線性放大器的動態范圍有限,幅度動態范圍過大的信號極易進入功率放大器的非線性區域,導致信號產生非線性失真,造成帶內信號畸變,進而導致整個雷達系統性能嚴重下降[13-14]。因此,為使雷達發射機在飽和狀態工作,避免放大器等模擬器件的非線性導致波形失真,雷達系統一般趨向使用恒定幅度(或幅度動態范圍較小)的波形。雷達波形需要具備低的自相關和互相關水平以避免接收信號間的相互干擾,此外,雷達需要具備靈活的發射波束圖以應對不同探測需求。雷達波形模的幅度約束、自/互相關函數以及波束圖均為非線性函數,使得雷達波形設計問題呈現出高維非凸的多約束優化問題,為處理非凸優化問題,本文總結了上界最小化(Majorization-Minimization,MM)方法[15]和交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)[9-10]及其在波形設計中使用的思路和技巧。本文還總結了最為典型的發射多波形的多輸入多輸出 (Multiple Input Multiple Output,MIMO)[11-12,16-18]雷達單波形的單輸入單輸出(Single Input Single Output,SISO)[19-21]雷達抗干擾波形設計建模方法和優化策略,以期能為后續雷達抗干擾波形和多功能一體化波形設計研究提供參考和依據。

1.1 MIMO雷達波形設計

集中式MIMO雷達收發天線單元間間距較近,不同天線單元可獨立發射不同波形,典型的集中式MIMO雷達,各個發射單元發射相互正交的波形[14]。MIMO雷達的波形分集特點使其自由度比相控陣雷達更大,例如:當雷達系統需要具備大的作用距離或者對目標進行跟蹤時,集中式MIMO雷達可切換為每個天線單元發射相同波形的相控陣雷達體制,形成具有高增益的窄波束[14];當需要對空域中所有目標進行探測時,集中式MIMO雷達可切換為發射正交波形的MIMO雷達體制,形成覆蓋全方向的寬波束,且通過適當布置發射和接收天線單元的位置可擴展天線的虛擬孔徑(發射天線單元和接收天線單元位置的不同所形成的虛擬孔徑也不同,M發N收可形成的最大虛擬孔徑為M×N)[22-23];當目標方位先驗已知時,MIMO雷達可發射介于相干和完全正交之間的部分相關波形,利用波形的相關性完成靈活發射波束圖設計,使雷達輻射能量集中于指定方向[14]。通過靈巧地設計發射波形控制發射波束圖,可增強目標回波,抑制背景雜波,顯著提高雷達目標檢測和參數估計性能[22-23]。

集中式MIMO雷達的波形分集特性具備了更高的目標分辨率、更好的參數辨識能力和抗截獲能力[10,22-23]。另外,集中式MIMO雷達還可根據雷達工作的電磁環境和目標的動態變化自適應地設計發射波形以提高雷達在復雜多變的戰場電磁環境中的適應能力[5-8]。本文總結了如下兩類具有代表性的MIMO雷達波形設計問題:首先,為保障在頻譜密集環境中工作的MIMO雷達系統的抗干擾性能[24],針對復雜電磁環境下寬帶MIMO雷達發射波束圖設計問題,本文提出了波束圖匹配設計優化模型和最小峰值旁瓣波束圖設計優化模型,以生成與復雜電磁環境相適應的MIMO雷達波形,進而提升雷達抗干擾性能(見第3節模型1～2);其次,當需對空域中所有目標進行探測時,MIMO雷達系統工作模式可切換為發射具有低自相關峰值旁瓣和互相關電平的正交波形,形成覆蓋全方向的寬波束[5],本文提出了頻譜約束條件下的最小自相關峰值旁瓣和互相關峰值電平的波形集設計模型,并根據分塊逐次上界極小化(Block Successive Upper-bound Minimization,BSUM)算法框架[15]給出了求解思路(模型3)。

1.2 SISO雷達波形設計

當MIMO雷達所有發射天線發射同樣的波形時,MIMO雷達等價為SISO雷達。因此,不同于MIMO雷達需同時設計多波形,SISO雷達僅需設計單波形,根據應用場景的不同,本文總結了幾類典型的單波形設計問題[8]:① 若發射波形的模幅度變化很大,會遭受嚴重的能量損失或非線性失真[12-14]。此外,傳統的波形頻譜賦型方法均基于最小二乘擬合準則[6-7],僅僅關注了“總體”平方誤差、無法兼顧峰值匹配誤差,使得所設計的波形頻譜形狀可能具有大的峰值阻帶水平和大的通帶紋波,這對于譜干擾抑制極為不利。為此,本文給出了基于min-max的頻譜賦形優化模型,以同時抑制峰值阻帶水平和通帶紋波(模型4)。② 雷達波形自相關峰值旁瓣水平對高分辨率雷達應用有顯著影響[6]。本文在頻譜和幅度約束下構造了自相關旁瓣精確控制模型(模型5)。③ 在諸如認知雷達[24]和機載雷達等應用中,除頻譜兼容性和波形幅度動態范圍要求外,波形還需具有圖釘狀模糊函數以滿足對移動目標探測的需求。為此本文提出最小相似度設計模型以實現具有較低的模糊函數旁瓣水平和指定頻譜零陷的探測波形(模型6)。

除上述MIMO雷達和SISO雷達波形設計建模外,本文還對上述模型的建模機理、求解方法進行了分析,給出了ADMM、MM以及ADMM+MM三種求解波形設計問題的優化手段和使用技巧。結合波形設計相似性約束的優良特性,本文創新性地將上述建模思路和優化方法應用于多功能一體化波形設計的兩個實例(模型7～8),以期為未來多功能一體化波形設計提供有價值的參考。

2 問題建模思路與優化方法

雷達波形設計通常需轉化為約束優化問題,約束條件由雷達工作的電磁環境和雷達本身的硬件限制等確定,是設計的前提;而目標函數描述了設計的目標。設計整體思路可分為4個基本步驟:① 根據雷達具體工作環境以及物理硬件限制等,確定波形的約束條件(如波形頻譜約束、自相關約束、幅度約束以及功能約束等);② 根據具體探測任務確定目標函數(如波形模糊函數、MIMO雷達發射波束圖等);③ 根據優化問題的目標函數和約束條件的特性確定優化方法,并針對性的推導有效的求解算法,以獲得滿足約束條件和設計目標的雷達波形;此步驟中涉及諸多信號處理和數學使用技巧,直接影響著波形設計方法的性能;④ 對算法性能分析和評估,如波形的模糊函數、自相關、頻譜兼容性、波束圖、算法復雜度和收斂性能等指標。實際設計中約束條件和目標函數相關指標可按需求靈活互換和組合。

2.1 常見約束條件

設離散化后雷達發射的波形為x=[x1,x2,…,xN]T∈N×1。其中,(·)T表示向量或者矩陣的轉置,表示復數域,N表示波形離散點數。M個波形(序列)集合也可以寫為矩陣的形式X=[x(1),x(2),…,x(M)]T∈N×M,其中,x(m)=[x1(m),x2(m),…,xN(m)]T∈N×1,m=1,2,…,M。

2.1.1 波形幅度約束

為避免放大器等模擬器件的非線性導致波形失真,雷達系統一般趨向使用恒定幅度(或幅度動態范圍較小)的波形[9-11,15]。對于MIMO雷達而言,由于要求具備多個發射機以發射相互正交或部分相關的波形,每一路發射波形都滿足恒定幅度或者具有較低的幅度動態范圍將有利于簡化雷達系統的硬件設計[25]。這種幅度約束通常有恒模(Constant Modulus,CM)約束,ε-不確定集(ε-Uncertainty Modulus)約束,峰值平均功率比(Peak-to-Average Power Ratio,PAPR)約束和離散相位約束等[25-27]。

CM約束:|xn|=ξ,n=1,2,…,N,其中,ξ>0表示波形x的模。

不確定集恒模約束:cn-ε≤|xn|≤cn+ε(cn≥ε≥0),其中,cn表示不確定集約束的中心,ε表示不確定集的不確定度,分別由用戶確定。

離散相位約束:angle(xn)∈{φ1,φ2,…φK},n=1,2,…,N,其中,φ1,φ2,…φK為固定的離散相位。

相似性約束:在機載雷達及其他應用[12]中,除幅度動態范圍約束外,雷達波形還需具有較好的模糊函數以提升動目標的探測性能。但直接添加模糊函數約束太過復雜,一種簡單且有效的方法是在波形設計建模時添加相似性約束(Similarity Constraint,SC)使設計的雷達波形繼承參考波形優良的模糊函數和動態范圍等特性[7]。相似性約束定義為‖x-c‖p≤σ,其中,c表示參考波形,具有良好的模糊函數和幅度的動態范圍,p=2或∞表示不同的相似性約束,參數σ控制相似度。

本文用模約束(Modulus Constraint,MC)統一表示上述的幅度約束:

MC(x)。

(1)

2.1.2 頻譜約束

(2)

y=FH[x;0],

(3)

2.2 目標函數

2.2.1 MIMO雷達部分相關波形設計

(4)

q=-N/2,…,0,…,N/2-1,

(5)

其中:

(6)

fq=[1,e-j2πq/N,…,e-j2π(N-1)q/N]T∈N×1。

(7)

(8)

式中:yq=[y1(q),y2(q),…,yL(q)]T,am,q?a(θm,q/(NTs)),X=[x(1),x(2),…,x(L)]T∈L×N。

(9)

常用的波束圖設計準則有:① 波束圖匹配設計準則[26],即設計波形X使得其波束圖Pm,q或者(Pm)與給定的波束圖模板相匹配;② 最小旁瓣設計準則[15],即設計波形X使得其波束圖Pm,q的峰值旁瓣最小化;③ 主旁瓣比例最大化設計準則[15],即設計波形X使得波束圖的主瓣積分相比于旁瓣積分最大化。

2.2.2 MIMO雷達正交波形集(序列集)設計

(10)

(11)

2.2.3 單波形(序列)設計

對于給定波形x?[x1,x2,…,xN]T∈N×1,其自相關函數定義若波形x為周期的,其自相關定義為波形x的自相關積分旁幫和峰值旁瓣定義與波形集的定義相同,且是波形集相關性能衡量準則ISL和PSL的特例形式。

2.3 優化方法

近年來,ADMM和MM在信號處理、通信和機器學習等領域廣泛應用以處理非凸優化問題。ADMM適用于大規模凸優化問題的求解[9],該方法將大規模優化問題分解成多個小規模的子問題,并以交替優化的方式確定原優化問題的解。此外,MM通過構造原非凸非光滑目標函數的上界函數,然后以迭代的方式求解上界優化問題,適用于大規模非凸優化問題[9-12,16-17]。下面介紹ADMM和MM優化框架。

2.3.1 ADMM

ADMM可處理具有復雜約束的優化問題,其具有對偶上升法強大的分解能力(變量分離、優化問題分裂等)和乘子法的快速收斂特性。研究表明,ADMM在許多非凸問題中也有出色的表現[10]。下面介紹ADMM算法框架,如針對優化問題:

(12)

類似于乘子法,ADMM首先構造增廣的拉格朗日函數:

(13)

ADMM算法按如下規則更新:

(14)

(15)

λ(t+1):=λ(t)+Ax(t+1)+Bz(t+1)-c,

(16)

式中:t表示迭代次數。式(12)被分解成上述兩個簡單的子問題,即式(14)～(15),和一個乘子更新步驟式(16)。

該算法可處理多約束優化問題,對于凸問題,理論收斂已得到證明。但是當處理非凸優化問題時,其理論收斂性目前還沒有文獻給出。目前對于ADMM算法求解部分非凸優化問題的收斂性分析一般是首先證明增廣的拉格朗日函數隨著迭代進行是遞減(增)的,即:

Lρ(x(t+1),z(t+1),λ(t+1))≤Lρ(x(t),z(t),λ(t)),

(17)

且增廣的拉格朗日函數有下(上)界,即σ≤Lρ(x,z,λ)。通過上述兩個結論可知,隨著迭代進行,ADMM對非凸優化問題是收斂的。

2.3.2 MM

MM也屬于迭代算法,可處理具有復雜目標函數但約束形式簡單的優化問題。例如針對優化問題[11]:

(18)

(19)

(20)

其次,求解優化問題(最小化步驟(Minimization)):

(21)

經過上述兩步,可有如下不等式:

(22)

即:原目標函數值非增。算法可通過有限次迭代趨于穩定(收斂),MM可處理復雜高次目標函數的優化問題,但通常上界函數難以構造,此外,該算法難以處理具有復雜約束的優化問題。

2.3.3 MM與ADMM混合算法

M-ADMM[17]可用于求解目標函數和約束條件均比較復雜的優化問題,以式(12)為例,算法的思路是通過MM框架構造該優化問題對應的上界優化問題:

(23)

(24)

(25)

構造式(23)對應的增廣的拉格朗日函數,并根據ADMM更新規則式(14)～(16),更新優化變量。

M-ADMM算法收斂性分析的基本思路為:根據式(17)和式(22),可推導M-ADMM方法所構造的增廣的拉個朗日函數值隨迭代次數增加而減小,且有下界,進而可得M-ADMM算法是收斂的。

3 波形設計建模與優化問題求解思路

3.1 復雜電磁環境下MIMO雷達波形設計

(26)

式中:Θn表示波束圖零陷的離散網格點集,其只包含干擾的頻譜帶寬和干擾空間方向。基于上述定義和討論,構建頻譜密集環境下寬帶MIMO雷達發射波束圖設計模型。

模型1:寬帶MIMO雷達波束圖匹配設計

當已知干擾的頻譜范圍,提出如下波束圖匹配設計問題:

(27)

在Wm,q>0表示第m個方向角和第q個頻率點對應的權重系數,D表示波束圖模板(Dm,q=1,?{m,q}∈Θm,Dm,q=0,?{m,q}?Θm,其中Θm表示離散網格點集),MC(x(l))表示第l個波形的模約束,如式(1)。

模型1求解思路:可以看到式(27)的主要難點是MC約束和目標函數中的求模運算。根據MM優化框架可以推導出式(27)對應的上界優化問題(主要作用是去掉目標函數中的求模運算),然后通過引入輔助變量yq=Xfq(可以看到目標函數和約束條件中都含有Xfq,且此項中fq為傅里葉變換的基,引入輔助變量yq便于后續運算和推導),并利用ADMM算法來求解該上界優化問題[17]。

模型2:寬帶MIMO雷達最小旁瓣發射波束圖設計

實際中,目標來波方向可能不精確,要求寬帶MIMO雷達波束圖主瓣滿足d-以提升雷達探測的穩健性,其中d和(d>)分別表示主瓣電平和主瓣波紋項。此外,為降低雷達雜波對雷達檢測性能的影響[17],本模型以最小化波束圖峰值旁瓣為目標函數,針對干擾的空間方向和頻段先驗已知的情況建立如下設計問題:

s.t.d-,?{m,q}∈Θm;

(28)

式中:Θs和Θm分別表示波束圖旁瓣和主瓣的離散網格點集。由于MC和波紋約束d-形成了一個非凸的可行集,式(28)是非凸的。此外,由于目標函數中的max運算和取模操作該優化問題的目標函數是非光滑的。上述模型也可推廣到窄帶MIMO雷達最小峰值旁瓣與主瓣波紋控制設計。

模型3:復雜電磁環境下的正交MIMO雷達波形設計

(29)

(30)

利用序列的功率譜密度函數和其自相關函數互為傅里葉變換對,以及傅里葉變換矩陣的正交性,可將式(3)的目標函數簡化為基于二范數度量的最小距離優化問題[28-29]:

(31)

3.2 復雜電磁環境下SISO雷達形設計

模型4:基于min-max準則的頻譜賦形設計

不同于基于最小二乘的頻譜賦形設計方法僅從整體考慮了波形頻譜賦形誤差[7],基于min-max準則同時抑制波形頻譜阻帶峰值水平和通帶波紋提出如下優化模型:

s.t.MC(x),

(32)

式中:τm表示頻譜模板,wm>0為第m個頻點對應的權重參數。

模型4求解思路:式(32)與式(29)類似的目標函數,可用模型3相同的求解思路簡化優化問題的目標函數,并利用傅里葉變換矩陣的正交性將優化問題化簡為類似式(31)的形式。

模型5:峰值旁瓣精確控制設計

在無線通信和SAR等應用中,通常感興趣目標回波的時延數大致已知,在波形設計過程中只需控制波形的特定自相關區域。此外,為保證雷達抗干擾能力,通常會在模型中加入頻譜約束,建立如下優化問題以滿足上述應用場景需求[6]:

|rn|≤δ,?n∈Θs;MC(x),

(33)

式中:Θm和Θs分別表示需要最小化和精確控制的波形自相關旁瓣區域,δ表示波形自相關旁瓣區域Θs范圍內所允許的最大值。

模型5求解思路:根據式(11),上述優化模型可寫為帶等式約束(r=F(|FHx|2))的優化問題,然后用ADMM求解[7]。

模型6:最小化相似性設計

除了低自相關峰值旁瓣,當雷達用于動目標探測時波形還需具類似于圖釘狀的模糊函數。但直接優化波形的模糊函數峰值旁瓣十分困難(4次目標函數和非凸波形幅度約束)[7]。為此,建立如下最小化加權l∞范數和l2范數相似性模型[7]:

(34)

式中:ρ∈[0,1]為用戶定義的參數,通過設定不同的ρ可獲得不同的目標函數,如當ρ=1時,是l∞范數模型,而ρ=0時獲得l2范數度量。

模型6求解思路:求解思路同模型4。

4 多功能一體化波形設計建模

傳統雷達、通信、導航等電子系統分立發展,使得各系統間的構成存在很大冗余,導致系統硬件、頻譜、波形、處理等資源無法被充分使用,且各系統之間存在資源競爭,導致電磁兼容性差。系統一體化設計能夠使各系統共享平臺資源,克服分立發展導致的問題。如雷達和通信系統共用波形的方式能夠使兩系統共享系統硬件、頻譜和功率等資源,從根本上克服跨系統干擾并提升資源利用率,已成為近年來的研究熱點[3-4]。

(35)

上述分析表明,本文介紹的模型1～6,均可加入相似性約束,將MIMO/SISO雷達波形設計問題轉化為多功能一體化波形設計問題[30]。

模型7:MIMO多功能一體化波形設計問題建模

同理,可以在模型1～3中加入相關的相似性約束,使設計的波形具備期望的發射方向圖和特定的功能。以模型1為例,構建多功能一體化波形設計模型:

(36)

模型7求解思路:同模型1。

模型8:雷達通信一體化波形設計問題建模

根據對通信需求的分析,提出最小化自相關峰值旁瓣設計模型,實現探通一體波形設計:

s.t. ‖x-xc‖∞<σn,DRR(x)≤ζ,

(37)

同理,針對波形(序列)集設計,建立如下多功能一體化設計模型:

?m|xn(m)|2=1,n=Nc+1,2,…,N,

(38)

式中:xc(m)表示第m個波形對應的參考波形。通過選取不同的參考波形,例如通信、導航、干擾等波形,可以實現多功能一體化波形的設計。

在式(36)～(38)中,參考波形xc(m)可根據需要適當選擇;如需要實現探干一體化波形,xc(m),?m可選擇常用的干擾波形;若需要探干通一體化波形,可以選擇xc(1),xc(2),…,xc(M)分別為通信波形、干擾波形,即選擇不同得參考波形即可獲得不同性能的多功能一體化波形。

模型8求解思路:同模型3。

下面通過仿真驗證式(38)的有效性。仿真參數設置為M=2,N=4 096,Nc=2 048,p=20,σ1=σ2=σ。圖1給出了當σ=0時兩個波形的自相關函數和互相關函數,可以看出,波形的自相關旁瓣和互相關水平幾乎相同,表明了波形具有較好的探測性能。圖2繪制了不同σ時通信的誤碼率曲線,可以看到當σ=0時,實際誤碼率曲線基本與理論誤碼率曲線一致,而隨著σ的增大,誤碼率性能會逐步退化,這也與本節理論分析一致;也可以看出,實際中相似性參數不用選擇過大,否則會影響波形的通信性能(如σ=0.3時通信性能退化較為嚴重),從仿真結果來看σ=0.1是一個非常好的選擇。

(a) r(1,2)

(b) r(1,2)

(c) r(2,1)

(d) r(2,2)圖1 波形自相關函數和互相關函數(σ=0)Fig.1 Waveform autocorrelation and cross correlation function (σ=0)

圖2 不同σ時通信的誤碼率曲線Fig.2 Error rate curve for different simultaneous communications σ

5 結束語

本文總結了復雜電磁環境下雷達抗干擾波形設計建模與優化方法,對波形設計的約束條件、設計準則、指標等進行了細致的梳理和總結。還對ADMM和MM優化方法進行了簡單描述,結合典型優化問題,給出了其在波形設計中的應用思路。本文建模思路和優化手段可為復雜電磁環境下雷達抗干擾波形設計、探測干擾一體化以及雷達通信一體化等多功能一體化波形設計提供有價值的參考。