圓的性質(zhì)在圓錐曲線中的推廣

胡 麗

(息烽縣烏江復(fù)旦學(xué)校,貴州 貴陽 551100)

在新課程標準下利用向量和圓來研究圓錐曲線的特征與性質(zhì),并且在高考中考查圓的性質(zhì)在圓錐曲線中的推廣而得出相應(yīng)的結(jié)論也加強了對能力的考查[1],所以我們在平時教學(xué)中對圓性質(zhì)的應(yīng)用應(yīng)該加以重視.

1 垂徑定理的推廣

圓中有一條性質(zhì)叫“垂徑定理”:若AB為圓O的一條弦,P為AB的中點,則kOP·kAB=-1.

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則

2 圓周角為直角的推廣

在圓中有一條必須熟記的就是直徑所對的圓周角為90°,即“若AB為圓O的直徑,P為圓上異于A,B的任一點,則有kPA·kPB=-1”.這一結(jié)論可以在圓錐曲線中進行推廣.

證明設(shè)A(-x1,-y1),B(x1,y1),P(x0,y0),則

3 切線性質(zhì)的推廣

3.1 圓的性質(zhì)推廣1

AB為圓O非直徑的任一弦,圓O在A,B兩點的切線交于點P,則OP過弦AB的中點.這一性質(zhì)在圓錐曲線中可以作如下推廣.

圖1 圓的性質(zhì)推廣1圖

因此,橢圓在點A和點B的切線方程為

所以kOM=kOP.

即O,M,P三點共線.

結(jié)論7若過點P作拋物線y2=2px的兩條切線PA,PB,過點P作直線PM平行于x軸交弦AB于點M,則點M平分AB(如圖2).

圖2 結(jié)論7圖

3.2 圓的性質(zhì)推廣2

設(shè)定點P到圓O上的點A的距離是點P到圓的距離,則圓O在點A處的切線與AP垂直.這一性質(zhì)推廣如下.

結(jié)論8 設(shè)定點P(a,b)到圓錐曲線C上的點A的距離是點P到曲線C距離,則曲線C在點A處的切線與AP垂直.

證明設(shè)A(x0,y0),圓錐曲線在點P附近的單調(diào)曲線段為一個函數(shù)y=f(x),則

令y=(x-a)2+[f(x)-b]2,則

y′=2(x-a)+2[f(x)-b]·f′(x).

由于定點P(a,b)到圓錐曲線C上的點A的距離是點P到曲線C距離,所以y′|x=x0=0.

4 兩垂直割線的推廣

我們知道圓內(nèi)接直角三角形的斜邊恒過一定點(圓心),通過特例的檢驗、大膽猜想、合理的證明,我們可以將這一性質(zhì)推廣到圓錐曲線上.

結(jié)論9 設(shè)P(x0,y0)是拋物線y2=2px上一定點,A,B是拋物線上兩點,且滿足PA⊥PB,則AB過點(2p+x0,-y0).

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線上兩點,由PA⊥PB,得

(x0-x1)(x0-x2)+(y0-y1)(y0-y2)=0.

化簡可得(y0+y1)(y0+y2)=-4p.

所以y1y2=-4p-(y1+y2)y0-2px0.

另一方面,當x1≠x2時,

故AB所在直線方程為

所以直線AB恒過定點(2p+x0,-y0)(經(jīng)檢驗當x1=x2時也成立).

通過對圓的重要性質(zhì)的推廣,我們不難發(fā)現(xiàn),圓的一些重要性質(zhì)在解決圓錐曲線的問題時,使某些比較復(fù)雜難解的問題簡單化、明朗化,使學(xué)生對書本上的知識更容易理解,開拓了學(xué)生的數(shù)學(xué)眼界[2].

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生去探究這些統(tǒng)一性質(zhì),學(xué)生在解圓錐曲線題的過程中可以得心應(yīng)手,也能培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的探究熱情,更使學(xué)生在探究數(shù)學(xué)的過程中提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).