對一道雙變量最值題解法的多視角探究

王恩普

(江蘇省淮陰中學教育集團淮安市新淮高級中學,江蘇 淮安 223001)

題目已知實數x,y滿足2x2+4xy+5y2=1,則x2+y2的最小值為____.

此題屬于一道涉及雙變量類型的最值問題,視角眾多,既能夠考查學生分析問題的能力[1],又可以考查學生邏輯推理、數學運算等能力.

1 解法探究

角度1 函數法.

解法1 由題知

令f′(t)=0,得

當t<-2時,f′(t)>0,f(t)單調遞增;

又當t<-2時,

而4t2-4t+1=(2t-1)2>0,

2t2+4t+5=2(t+1)2+3>0,

評注本解法主要是結合條件與結論構造齊次式,再進一步通過比值代換,把雙變量問題轉化成單變量,進而通過函數與導數來解決.

解法2由2x2+4xy+5y2=1,知

5y2+4xy+2x2-1=0.

將其看成關于y的方程,由方程的有解性知

評注盡管本解法相對比較復雜,但其本身也是將雙變量轉化為單變量,只是相比較而言,形式較為丑陋,并且用x表示y的過程中出現的“±”用絕對值來處理,避免了進一步討論,但是此時出現了不等關系,最后給予檢驗即可.

解法3構造拉格朗日函數:

L(x,y,λ)=x2+y2+λ(2x2+4xy+5y2-1).

分別對x,y,λ求導,得

評注針對多變量的最值問題,拉格朗日乘數法主要是由結論和條件建立拉格朗日函數L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y),然后通過Lx=0,Ly=0,Lλ=0解出極值點,進而求出最值.

解法4 由最小值的定義知:

如果存在x0∈A,使得對于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x0),那么稱f(x0)為y=f(x)的最小值.

設x2+y2的最小值為λ,即有x2+y2≥λ,且等號可以成立.

因此有x2+y2≥λ(2x2+4xy+5y2).

即(1-2λ)x2-4λxy+(1-5λ)y2≥0.

要使得上式恒成立,且等號成立,則有

評注借助于函數最值的定義求最值在高中數學中運用廣泛[2],其中基本不等式求最值以及放縮法求最值時,都是要求建立起的不等關系一邊是常數,同時要保證等號條件成立.

角度2 不等式法.

解法5 由基本不等式,知

2x2+4xy+5y2≤2x2+(2x)2+y2+5y2,

當且僅當2x=y時取等號,則有1≤6(x2+y2).

解法6由條件知

1=2x2+4xy+5y2=x2+y2+(x+2y)2.

由柯西不等式,知

(x+2y)2≤(12+22)(x2+y2),

當且僅當2x=y時取等號,

即有1-(x2+y2)≤5(x2+y2).

評注本解法巧妙地把條件表示成結論與完全平方的形式,借助于柯西不等式構造出關于x2+y2整體的不等關系,從而求出最值.

角度3 方程.

解法7 令t(x2+y2)=1,由題知t>0.

由2x2+4xy+5y2=1知

2x2+4xy+5y2=tx2+ty2.

即(2-t)x2+4xy+(5-t)y2=0.

此時,若t=2時,顯然方程有解;

若t≠2時,由于關于x的方程有解,則有Δ=16y2-4(2-t)(5-t)y2≥0對任意的y∈R恒成立[3].

此時有4-(2-t)(5-t)≥0.

即t2-7t+6≤0.

解得1≤t≤6且t≠2.

評注本解法處理此類問題的思路是先確立其中一個變量為主元,利用其有解性列出相應條件,再以另一變量為主元進行進一步的處理.

角度4 三角換元.

解法8由2x2+4xy+5y2=1,得

2(x+y)2+3y2=1.

評注本解法采用的是三角換元,對于形如“ax2+bxy+cy2=1”的式子,都可以配湊成“(dx+ey)2±(fy)2=1”或“(dx)2±(ex+fy)2=1”的形式,然后借助于“sin2α+cos2α=1”或“sec2α-tan2α=1”進行代換即可[4].

角度5 極坐標.

又2x2+4xy+5y2=1,即有

2ρ2cos2θ+4ρ2sinθcosθ+5ρ2sin2θ=1.

評注考慮到條件與結論中涉及到雙變量,可以看成坐標[5],而極坐標又可以借助于ρ與θ與平面坐標進行轉化,再借助于三角函數知識即可解決,很好地體現了化歸思想.

2 解題啟示

解題需要結果,但是解題不僅僅需要結果,更要注重過程的獲得,而一題多解則豐富了學習者的思維,同時能夠在關聯的情境中,多視角地經歷數學建模的過程,不僅能提升學生學習的興趣,增強學習數學的自信心,養成良好的數學學習習慣,更能夠提升學生的創新意識.