一題多解有妙法 深入探究促提升
——2022年高考全國乙卷第23題的探究

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學,廣東 佛山 528315)

每年都有不少的優質高考試題,這些試題是命題專家精心設計的杰作,凝聚了命題人的集體智慧,具有權威性、示范性與借鑒性.這當中出現了很多立意深遠、思路靈活的題目,值得我們去探究.

1 題目呈現

本題是2022年高考全國乙卷文理科的第23題,屬于選做題,是一道三元不等式的證明題.題目結構簡單,知識方面主要考查不等式的基本性質,不等式的證明等;思想方面主要考查轉化與化歸、函數等思想.綜合考查考生邏輯思維、推理論證等方面的能力,試題的思維過程和證明過程體現了能力立意的命題思想,較好地體現了不等式中的核心內容和基本思想方法的考查.

2 證法探究

2.1 問題(1)的證明

證法1因為a>0,b>0,c>0,則

由三元均值不等式,得

證法2 因為a>0,b>0,c>0,

由三元均值不等式,得

證法3因為a>0,b>0,c>0,

由三元均值不等式,得

由冪平均不等式[1],得

從而證lna+lnb+lnc≤-2ln3.

即y=3x-1-ln3.

令g(x)=f(x)-y=lnx-(3x-1-ln3),

從而g(x)=f(x)-y≤0.

即f(x)=lnx≤y=3x-1-ln3.

從而證lna+lnb+lnc≤-2ln3.

所以f(x)是上凸函數.

2.2 問題(2)的證明

評注①試題的兩個問題都可以利用均值不等式證明,均值不等式在證明不等式中應用廣泛,也是高中數學的常見方法.②問題(1)的證法4與證法5是通過構造函數來證明不等式,構造函數法是證明不等式的一種重要且巧妙的方法,其關鍵是通過發掘待證不等式的結構特征,合理變形,構造相應的函數,再通過研究函數的單調性、凹凸性、最值等性質使不等式得以證明,證明過程常用導數作為研究函數性質的工具.

3 試題的命題背景與題根

3.1 試題的命題背景

Nesbitt不等式設x,y,z是正實數,則

①

因為x>0,y>0,z>0,則

②

由不等式②,得

③

由不等式②,得

④

可見,Nesbitt不等式正是2022年高考試題的命題背景.Nesbitt不等式形式優美,內涵極其豐富,由此能演繹出一系列的不等式,可謂花團錦簇、精彩紛呈,因而經典問題也是高考真題的生長點.

3.2 試題的題根

(人教(B版)選修4-5“不等式選講”第43頁第7題)設a,b,c為正實數,求證:

顯然,2022年考題的“題根”來源于教材的上述習題(即Nesbitt不等式),只是將習題進行適當的改編.立足教材,選編教材的原題,生成教材的變題,是高考命題的一個不爭的事實,這體現了高考命題的公平性和基礎性原則.所以教師要善于鉆研教材,用“慧眼”去發現有典型性、可拓展性的例習題,善于作解后反思,方法的歸類,規律的總結與技巧的揣摩,再進一步對例習題進行挖掘、拓展、引申,擴大其輻射面,以此提高復習的效率.

4 試題的推廣

由均值不等式,得

(2)因為ai>0,n≥3,由均值不等式,得

評注顯然在推廣試題中,當n=3時,就是高考題的情形.

高考試題是精心之作,每年的高考題在命題角度、題型、難度等方面都進行了充分考慮,是知識、能力和思想方法的載體,是命題思想、命題理念的程序化展現,具有典型性、示范性和權威性.高考試題在命制時充分考慮到考生數學能力的個體差異,大多數試題的解答方法、思維方式不是唯一的,給考生提供了較大的發揮空間.這樣通過方法的選擇、解題時間的長短,甄別出考生能力的差異,達到精確區分考生的目的.也說明高考要突出考查知識主干,貼切教學實際,扎實基礎,重視數學的基本能力與思想方法,所以要在平時的學習與訓練中重視知識的儲備和方法的積累,才有可能縮短思維的長度,達到事半功倍的效果.

高考試題除了具有測試與選拔功能外,還具有良好的教學功能,對中學教學有良好的導向性,要了解高考動向、把握高考脈搏,高考試題的研究分析是重要的路徑.因此要充分認識高考題所蘊含的價值,對典型高考題要深入挖掘,探求試題背后的思想方法,并注重一題多解,力求對所學的知識融會貫通,從而實現高考題的教學功能的最大化、最優化.