對一道橢圓試題的深入探究

董 強

(西安市第八十五中學,陜西 西安 710061)

筆者在給高二學生的復習試題中有一道有關橢圓中證明直線斜率為定值的問題[1],通過課堂和學生的互動探究,發現這是一道蘊含橢圓本質屬性的試題,可以進行推廣.試題解答過程中所呈現的解析思路和具體方法對圓錐曲線問題有著積極的意義,體現了思考圓錐曲線問題的一般規律和基本方向.

1 試題呈現

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點F2作垂直于x軸的直線l交橢圓于A,B兩點(點A在第一象限),M,N是橢圓上位于直線l兩側的動點,若∠MAB=∠NAB,求證:直線MN的斜率為定值.

2 解法探究

2.1 第(1)問解析

又a2=b2+c2,所以a2=4,b2=3.

2.2 第(2)問解析

思路1利用兩點間的斜率公式.

因為∠MAB=∠NAB,所以kAM+kAN=0.

思路2韋達定理.

解法2(斜截式)設lMN:y=kx+m,代入3x2+4y2-12=0,得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0.

因為∠MAB=∠NAB,所以kAM+kAN=0.

①

將x1+x2與x1·x2代入①式,整理,得

(2k-1)(2k+2m-3)=0.

評析解法1采用了點差法,運算較為簡單,解法2考慮到探求直線MN的斜率,直奔主題,采用了直接設直線MN斜截式方程的方法,思路清晰,但最后整理化簡過程技巧性強,方程組的思想和韋達定理的應用是解法2的主體.結論中的定值是1/2,而橢圓的離心率也是1/2,這是一種巧合還是有一般性的規律?為此,師生共同編撰并探究了下面一道試題.

3 變式探究

證明設M(x1,y1),N(x2,y2),直線lMN:y=kx+m,代入16x2+25y2-400=0,得

(16+25k2)x2+50kmx+25(m2-16)=0.

又△=2500k2m2-100(16+25k2)(m2-16),

由△>0,得m2<25k2+16.

由韋達定理,得

因為∠MAB=∠NAB,

所以kAM+kAN=0.

又y1=kx1+m,y2=kx2+m,

=0.

②

將x1+x2與x1·x2代入②式,整理,得

75k2+25(m-5)k+3(16-5m)=0.

即(5k-3)(15k+5m-16)=0恒成立.

評析本題也可以采用點差法進行求解,讀者可以自行驗證,此處直線的斜率依然等于橢圓的離心率.將該變式探究和前面試題進行比較可得,直線MN的斜率總為定值,而且這個定值等于橢圓的離心率[2],可見該結論應該具有一般性,可以進行推廣.

4 結論推廣

證明設M(x1,y1),N(x2,y2),直線lMN:y=kx+m,代入b2x2+a2y2-a2b2=0,得

(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0.

又△=4a4k2m2-4a2(b2+a2k2)(m2-b2),

由△>0,得m2

由韋達定理,得

因為∠MAB=∠NAB,所以kAM+kAN=0.

又因為y1=kx1+m,y2=kx2+m,

整理,得

③

將x1+x2與x1·x2代入③式,并化簡得

a2ck2+a2(m-a)k+c(b2-am)=0.

所以(ak-c)(ack+am-b2)=0恒成立.