利用構造法解決極值點偏移問題
——以2022年高考全國甲卷理科數學第21題為例

劉 灝

(華南師范大學數學科學學院,廣東 廣州 510631)

1 數學問題分析

(1)若f(x)≥0,求a的取值范圍.

(2)證明:若f(x)有兩個零點x1,x2,則x1x2<1.

分析函數定義域(0,+∞),第(2)問中暗含f(x1)=f(x2)=0.通過第(1)問的計算得到極值點恒為x=1,那么第(2)問即等價于“求證x1x2

1.1 第(1)問解析

所以當x∈(0,1)時,f′(x)<0;當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)上單調遞減,在[1,+∞)上單調遞增.

所以f(x)min=f(1)=e+1-a.

若f(x)≥0,則e+1-a≥0,解得a≤e+1.

所以a的取值范圍為(-∞,e+1]

設h(t)=et+t-a,則h′(t)=et+1>0.

所以h(t)min=h(1)=e+1-a.

若f(x)≥0,則e+1-a≥0,

解得a≤e+1.

所以a的取值范圍為(-∞,e+1].

1.2 第(2)問解析

又f(x1)=f(x2),

此處我們對不等式進行拆分,

所以p1(x)在(1,+∞)單調遞增.

所以當x∈(1,+∞)時,p1(x)>p1(1)=0.

綜上,當x∈(1,+∞)時,p1(x)>0,p2(x)<0,所以p1(x)-2p2(x)>0.

2 解題方法討論

2.1 第(1)問的解題思路

第一種方法是直接法,將f(x)≥0在定義域(0,+∞)上恒成立的問題直接轉化為f(x)min≥0,運用導數求出函數f(x)的單調區間,進而求出函數的最小值,最后求出參數范圍.

第二種方法是運用整體思維,即指數、對數函數的代換,使函數f(x)通過換元處理為復合函數f(g(x)),利用復合函數的單調性求f(x)的最小值,適當地減輕了計算量.

2.2 第(2)問的解題思路

3 總結與展望

極值點偏移問題是近年高考壓軸題的?？?同時新高考比之前全國卷試題更復雜,情境更綜合,這可能也是許多學生在新高考下不能順利得分的一個原因,但這也是新高考的一種趨勢.正如新課標指出“基于數學核心素養的教學評價,不僅要關注學生對知識技能的掌握程度,還要更多地關注學生的思維過程[2].” 此類題型涉及化歸、換元、分類討論等數學思想、同時考查導數和不等式的基礎知識,難度逐級遞增環環相扣.

希望學生能熟練掌握極值點偏移問題中的構造函數法,學習其數學思想,領略數學魅力,也希望各位數學教育工作者能提出更多更精妙的極值點偏移問題,教學相長,共同進步!