高中物理解題中數學思想與方法應用舉例分析
——以“三角函數”為例

孫志峰

(福建省惠安第一中學,福建 惠安 362100)

新時期,新的高考物理考試說明進一步明確了考生應用數學方法處理物理問題的能力的要求,高考生不僅需要在具體物理問題中找出物理量之間的數學關系,而且需要根據數學的特點與規律進行推導,并恰當運用幾何圖形、函數圖像輔助物理判斷、得出物理結論.因此,探究數學思想與方法在高中物理解題中的應用具有非常重要的意義.

1 高中物理解題中的數學思想

在高中物理問題求解中,可利用的數學思想與方法包括幾何法、估算法、函數法、圖解法、比值法、歸納法、微元法、極限分析法、特殊值法、分類討論法、極值法等.其中在物理問題求解中應用頻率較高的數學思想與方法包括函數圖像、平面幾何、數列、解三角形、不等式、微積分初步等[1].

2 物理解題中的數學“三角函數”思想與方法

2.1 三角函數定義

在高中物理問題求解中的“三角函數”思想與方法本質上是將角、比值分別作為自變量、函數值的函數,主要是:設a是一個任意角,a的正弦記為sina,a的余弦記為cosa,a的正切記為tana,a的余切記為cota,a的正割記為seca,a的余割記為csca[2].

2.2 三角函數定理

在高中階段物理問題解析過程中,常用的三角函數定理主要包括正弦定理、余弦定理、正切定理等.其中正弦定理是三角函數基本定理,特指:對于任意一個平面三角形,其各邊與邊所對角的正弦值的比為同一數值,且各邊與邊所對角的正弦值的比等于外接圓的直徑;余弦定理主要描述三角形中3邊長度、1個角的余弦值的關系,即:對于任意一個三角形,任何1個邊的平方等于其他2個邊平方的和減去對應兩邊與其夾角的余弦的積的2倍;正切定理主要用于描述正切函數,即:一個三角形內,任意2條邊的和除以第1條邊減第2條邊的差所得的商、兩條邊的對角的和的1/2的正切除以第1條邊對角減第2條邊對角的差的一半的正切所得的商是同一個數值.

3 高中物理解題中數學思想與方法應用舉例分析——以“三角函數”為例

3.1 恒成立問題

借助三角函數思想方法解決物理恒成立問題,需要在分析題目物理過程、事物狀態的情況下,根據物理規律列方程,再在方程中根據函數性質求解.在三角函數思想方法應用于物理問題解決過程中,最簡單的用法是直接利用三角函數的正弦公式(或余弦公式、余切公式、正切公式求解).特別是在物理恒成立問題解析過程中,引導學生進行正交分解,聯系列出式子直接利用三角函數求解.

例1一物體m放置在水平面上,m與水平面之間的動摩擦因數為μ,現施加一個斜向下的力F推物體,F與水平面之間夾角為φ.在m與水平面之間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力的情況下,φ至少為( )時,無論F多大均無法推動物體m.

3.2 物體的動態平衡問題

高中階段,物體的動態平衡問題較為常見,特指物體自始至終處于平衡狀態但受力持續發生變化的一類問題[3].一般情況下,物體的動態平衡問題多為3個力作用下的平衡問題,部分情況下物體的動態平衡問題也涉及4個力的平衡.解決上述問題一般需要根據平衡條件列出方程,由所列方程分析物體受力變化,即函數法,或者根據平衡條件繪制力的分解圖(或合成圖),在圖像中分析力的變化,即圖解法.根據不同方法的應用過程,教師可以引導高中生選擇恰當的三角函數,輔助解決物體的動態平衡問題.

3.2.1 函數法解決物體的動態平衡問題

高中階段,解決平衡問題的基本思路是分析受力,結合平衡條件(或三角形定則、三角函數定理)等知識進行解析.從函數解析視角來看,物體的動態平衡問題是通過控制特定物理量的變化促使物體整個狀態發生緩慢變化,緩慢變化特指速度極小的變化,可認定為速度為0,此時,物體在變化階段達到平衡狀態.教師可以引導學生分析物體動態平衡條件,根據條件列方程,根據方程帶領學生探究物體受力變化.

例2輕繩兩端分別系在質量為m的物體上、輕質圓環上,圓環套在粗糙水平桿MN上,此時,利用水平力F拉動輕繩上一個節點,促使物體達到某一位置(圖1中實線),進而變更水平力F的大小,在圓環位置一定的情況下,促使質量為m的物體連同輕繩下降(圖1中虛線),在整個過程中,水平力F、圓環與粗糙水平桿MN的摩擦力Fm、圓環對粗糙水平桿MN的壓力FN的變化情況是( ).

圖1 例2示意圖

A.F逐漸增大,Fm保持不變,FN逐漸增大;

B.F逐漸增大,Fm逐漸增大,FN保持不變;

C.F逐漸減小,Fm逐漸增大,FN逐漸減小;

D.F逐漸減小,Fm逐漸減小,FN保持不變.

解析上述題目為高中階段典型的力的動態平衡問題,可以利用力的合成思想進行求解,同時需要利用數學知識中的三角函數知識進行解析,需要高中生熟練了解三角函數定理在物體動態平衡類物理問題中解析的規律[4].

答案:D

3.2.2 圖解法解決物體的動態平衡問題

在基于圖解法的力學題目解析過程中,三角函數思想應用的關鍵在于借助正交分解梳理問題解析思路,明確物體受力后構建直角坐標系,完成力的分解.進而根據牛頓運動定律,完成公式聯列[5].在公式聯列后,教師可以帶領學生根據三角函數的性質進行問題解析.如例題2中,質量為m的物體在水平力F、物體重力、圓環與粗糙水平桿MN的摩擦力Fm的作用下處于平衡狀態,水平力F與輕質繩的拉力FL的合力與重力平衡,表明水平力F與輕質繩的拉力FL的合力大小恒定,方向豎直向上,且水平力F的方向維持一定,根據力的三角形法則,可以水平力F與輕質繩的拉力FL的合力、水平力相互垂直,繪制矢量圖(見圖3).

3.3 運動規律問題

高中物理題目中,運動規律問題涉及了簡諧運動、機械波運動等.在運動規律問題解析中需要運用三角函數的相關知識,如求解簡諧運動的振動方程可以轉化為利用三角函數圖像求解三角函數解析式[6].

3.4 物理最值問題

作為函數的一種,三角函數在物理問題解析中的應用與一般函數類似,求解物理最值是三角函數應用的主要方面[7].

列出式子后,教師可以鼓勵學生利用三角函數中的輔助角公式進行解決.即:

其中θ滿足

在cosφ+μsinφ最大時,F最小.

綜上所述,函數思想特指利用函數表示某一物理問題,借助函數的概念、性質進行物理問題的分析、轉化與求解,并探明相關類型的一般規律.三角函數思想是重要的函數思想,教師應根據物理最值、恒成立、動態平衡等問題內容,帶領學生借助三角函數思想逐步分析、求解,在幫助學生順利解決物理問題的同時,提高學生跨學科學習能力.