例談橢圓中的蝴蝶模型

盧恩良

(江西省九江市第三中學,江西 九江 332000)

圓錐曲線中的定點、定值問題備受命題人青睞,其中以橢圓為載體的試題更是屢見不鮮.橢圓中有一類定點、定值問題,因所涉圖形酷似糊蝶,故稱“蝴蝶模型”.本文舉例說明“蝴蝶模型”在定點、定值問題中的應用.

1 定點問題

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過定點.

圖1 2020年全國Ⅰ卷理科20題

設C(x1,y1),D(x2,y2),

整理,得

3x2y1-9y1=x1y2+3y2.

將x2=ty2+m,x1=ty1+m代入,得

(1)求a的值;

(2)設AF,BF的延長線分別交橢圓于D,E兩點,當k變化時,直線DE是否過定點?若過定點,求出定點坐標;若不過定點,請說明理由.

圖2 例2解析圖

評析本題破解關鍵有三點.第一是敢于聯立直線AF與橢圓方程,不畏繁雜的運算;第二是通過類比代換由點D坐標得到點E坐標;第三是寫出直線DE方程,令y=0,朝著目標大膽運算下去.

變式題在例2模型的基礎上,將四邊形對角線所過定點由特殊的焦點變為一般的點N,邊AB不再過原點O而是一般的點M.下面對變式問題進行解答.

通過以上兩個例題和一個變式題,我們感受了橢圓蝴蝶模型中的定點問題.通過進一步研究,我們可以把橢圓蝴蝶模型中的定點問題作一般化推廣,得到以下兩個命題.

橢圓中的蝴蝶模型內涵豐富,值得深入研究.它不僅涉及直線過定點問題,還涉及到與斜率有關的定值問題.下面通過兩個例題來發現其中規律.

2 定值問題

圖3 例3解析圖

設D(x1,y1),E(x2,y2),

評析先猜后證是解決定點、定值問題的典型方法,體現了解決數學問題的思維過程,有助于明確解題方向和目標.

(2)若M為橢圓C上的動點(異于A,B),連接MF1并延長交C于點N,連接MD,ND并分別延長交C于點P,Q.設直線MN,PQ的斜率分別為k1,k2,試問是否存在常數λ使得k1+λk2=0?若存在,求出λ;若不存在,說明理由.

下面主要對第(2)問進行解答.

把例3和例4進行一般化,我們可以得到下面兩個命題.

文中通過幾個典型例題介紹了橢圓中蝴蝶模型的定點、定值問題的處理辦法.仔細分析發現,該模型本質上體現了橢圓內接四邊形的一些性質結論.文中四個命題將例題中的蝴蝶模型作了一般化的推廣,僅供同學們了解,教學重點依然是通過常規方法,訓練運算能力,提升數學核心素養.