對教材中一類對數式大小比較的探究

蘇藝偉

(福建省龍海第一中學,福建 龍海 363100)

新教材中的習題具有典型性、針對性,是高考試題的直接來源.近幾年的高考數學試題有不少題目就直接來源于教材習題的改編.不僅如此,有些省市的質檢試題為了引導教師重視教材,在組織教師命題時就明確要求必須有部分試題是教材習題的改編[1].因此,在注重教材習題的基礎上,如何對教材習題進行深度挖掘,以此提高學生的數學思維,并適應新高考的需求,成為一線教師不可避免的問題.

比較大小試題是近幾年來十分熱點的問題,在高考試題或者質檢試題中經常出現,以選擇題的形式為主,一般會給出三個數進行比較.在眾多比較大小試題中,有一類題目是給出三個對數式,特點是一個對數式的真數是另一個的底數.此類題目出現在人教A版必修第一冊(2019年版)第141頁拓廣探索第13題.對于此類題目,以教材中的該題為出發點,引導學生進行深度挖掘,可以起到很好的效果.

1 試題呈現

題目(人教A版必修第一冊(2019年版)第141頁拓廣探索第13題)比較下列三個值的大小:log23,log34,log45.

2 試題分析

本題給出了三個對數式,要比較大小,特點是底數與真數是連續的正整數,真數比底數大1,其中一個的真數是另一個的底數.主要考查對數的運算、式子的變形轉化、不等式性質的應用.考慮采用作差法解決.

3 試題解析

故log23>log34.

故log34>log45.

綜上,log23>log34>log45.

4 試題推廣

當n∈N時,logn(n+1)>logn+1(n+2).

所以logn(n+1)-logn+1(n+2)

所以logn(n+1)>logn+1(n+2).

5 試題應用

例1 (復旦大學自主招生試題)比較log2425與log2526的大小.

則lg225-lg26·lg24>0

故log2425>log2526.

例2(2022年全國甲卷文科第12題)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,則( ).

A.a>0>bB.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a

解析易知m=log910,a=10log910-11,b=8log910-9.由于log89>log910>log1011,所以

a=10log910-11>10log1011-11=0,

b=8log910-9<8log89-9=0.

故a>0>b.故選A.

評注顯然,借助該結論可以很好地解決本道高考試題,因此本道高考試題可以看成是該教材習題的改編.從這里我們可以體會到對教材習題進行深度挖掘的重要性,這同時也啟發我們對于高考試題的解答要善于轉化變形,將陌生的題目化歸為已學的知識,才能透過表象看到本質.

A.f(3)>f(2) B.m≥2

解析由已知可得m≥2,

logm(m+1)-logm+1(m+2)

兩邊同時平方,得

ln2(m+1)>lnm·ln(m+2).

所以logm(m+1)>logm+1(m+2).

綜上,本題選擇ABD.

6 試題變式

誠然,對于教材習題深度挖掘的重要性不言而喻.此類對數式大小的比較十分具有代表性.但是為了進一步提高學生的數學思維,我們應該跳出此類題型的局限性,因為此類題型必須滿足真數比底數大1等特點.如果我們僅僅停留于此,學生的思維會僵化,遇到較大的變化則無法解決.因此必須教會學生靈活處理類似的對數式大小比較問題.如2022年漳州市高三第二次質檢的一道選擇題:

A.b

由于lg29-lg210<0,此時無法判斷.

所以b

變式是訓練學生思維的重要抓手,能夠提高學生于陌生復雜情境中解決問題的能力.此類對數式大小的比較不能停留在教材習題中的三個對數式,必須給予較大的變式才能更好地完善學生的認知結構,提高解題能力.事實上,此類對數式大小的比較在2020年全國Ⅲ卷理科第12題就出現過.

7 教學反思

以新教材習題為載體,進行深度挖掘,能夠很好地對接新高考,是新課程、新高考的必然要求.在此基礎上,我們不能局限于教材習題所固定的類型,必須做出深度的變式,以此引領學生的思維走向深處,否則學生只會處理固定的那類題型,稍微變化就無從下手了.這就要求教師必須具備十分豐富的經驗,深入題海,并熟悉近幾年高考試題,結合典型的高考試題加以分析、應用,讓學生感悟高考試題的來源是教材習題,從而真正從思想上高度重視教材,以教材為本進行復習,走上正確高效的備考之路.