可變磁路式永磁懸浮系統(tǒng)線性自抗擾控制分析

李 強, 張鵬飛, 趙 川, 徐方超, 金俊杰, 孫 鳳

(沈陽工業(yè)大學 機械工程學院, 沈陽 110870)

磁懸浮技術是利用磁力平衡物體重力,實現無接觸穩(wěn)定懸浮的技術.如今所使用的磁懸浮主要以電磁懸浮技術為主,在磁懸浮軸承[1]、磁懸浮列車[2]、磁懸浮電機[3]和磁力懸架[4]等多個領域內廣泛使用.超導懸浮技術[5]主要應用于超導磁懸浮列車,分為低溫超導磁懸浮列車(液氦)和高溫超導磁懸浮列車(液氮),我國研發(fā)的時速600 km/h磁懸浮列車就屬于高溫超導磁懸浮列車[6].與永磁懸浮技術相比,電磁懸浮技術具有需要以電力不斷供給磁力以及較大能耗的缺點.我國稀土資源儲備豐富,對發(fā)展永磁懸浮技術具有諸多便利.上海大學袁昆鵬等[7]研究設計了滿足長壽命和高轉速工作要求的無刷直流電機永磁軸承,并進行了力學特性分析;劉建文等[8]提出了一種軸流式人工心臟泵,其中葉輪轉子采用兩個永磁軸承提供被動支撐.

本文實現物體穩(wěn)定懸浮的方法為電機驅動徑向磁化圓柱形永磁體旋轉,改變通過導磁體與懸浮物的磁通量,實現懸浮力大小的控制,使其平衡懸浮物重力進而實現懸浮[9].可變磁路式的永磁懸浮系統(tǒng)具有高階性、強非線性和時滯性的特點,實現穩(wěn)定懸浮控制較為困難.目前已有較多控制方法應用在該磁懸浮系統(tǒng)中,如PID控制器[10]、魯棒控制[11]等,其中最常用的為PID控制器,PID控制結構雖然簡單明確,但在磁懸浮系統(tǒng)的抗干擾能力方面有較大的局限性.自抗擾控制也應用在一些磁懸浮系統(tǒng)中,但主要用于電磁懸浮中,而在永磁懸浮中大多都僅限于仿真階段,實驗成果較少.

自抗擾控制(ADRC)[12]是由韓京清研究員提出的,其核心思想是在盡可能不受精確的數學模型影響下,使用擴張狀態(tài)觀測器將整個系統(tǒng)包括外擾和內擾在內的集成擾動觀測出來,通過設計非線性控制律將所產生的誤差加以補償,從而達到快速收斂的目的,具有較強的抗擾動能力.線性自抗擾控制方法具有不依賴精確的數學模型,抗干擾能力強,參數較少,易于整定的特點,因此,本文設計的可變磁路式永磁懸浮系統(tǒng)采用線性自抗擾控制方法,證明了線性自抗擾控制方法具有廣泛的通用性.

1 永磁懸浮系統(tǒng)結構及工作原理

1.1 磁懸浮系統(tǒng)結構

可變磁路式永磁懸浮系統(tǒng)的原理樣機如圖1所示.

圖1 永磁懸浮系統(tǒng)的原理樣機Fig.1 Principle prototype of permanent magnetic levitation system

該永磁懸浮系統(tǒng)的組成結構主要包括圓柱狀永磁體、“F”型導磁體、傳感器、懸浮物和調節(jié)千分尺.其中,圓柱狀永磁體的充磁方式為徑向充磁,與伺服電機通過聯(lián)軸器連接;“F”型導磁體處于永磁體兩側,對稱分布;傳感器位于懸浮物體下方,用于測量懸浮物體與導磁體之間的氣隙;調節(jié)千分尺用于調節(jié)懸浮物、傳感器、永磁鐵和導磁體的相對位置.

1.2 磁懸浮系統(tǒng)工作原理

圖2為可變磁路原理圖.徑向磁化的永磁鐵與伺服電機相連接,由伺服電機進行驅動,當永磁鐵的轉角為0°時,永磁體的主磁通經兩側“F”型導磁體全部由N極返回S極,懸浮物無主磁通經過,不產生磁力.當永磁鐵轉過θ°時,此時除了經過兩側“F”型導磁體由N極返回S極主磁通外,還有部分主磁通將從N極出發(fā),先后經過右側“F”型導磁體、懸浮物及左側“F”型導磁體返回S極,并產生一定磁力.

圖2 可變磁路原理圖Fig.2 Principle diagram of variable flux path

2 數學模型建立

永磁懸浮系統(tǒng)模型受力如圖3所示.圖3中,d0為系統(tǒng)平衡時的氣隙,Δd為懸浮物位移變化量,Δd=d-d0,向下為正方向,θ為永磁體轉角,θ0為永磁體在平衡位置時的轉角,Δθ為角度變化量,Δθ=θ-θ0,順時針方向為正.

圖3 永磁懸浮系統(tǒng)模型圖Fig.3 Model diagram of permanent magnetic levitation system

經實驗數據可得,懸浮物所受磁力均隨著旋轉角度呈周期性變化,采用等效磁路法可求解得出磁力解析關系和永磁體轉動過程中受非線性轉矩作用的關系.推導可變磁路式永磁懸浮系統(tǒng)動力學方程為

(1)

(2)

式中:J為電機與永磁體的轉動慣量;kt為伺服電機轉矩系數;i為伺服電機輸入電流;m為懸浮物的質量;c1為永磁體在回轉方向上的阻尼系數;c2為懸浮物運動阻尼系數;f為外擾力;F為永磁體對懸浮物的吸引力;τ為永磁體受到的轉矩.

將式(1)、(2)在平衡位置進行線性化處理,可得到最終線性化模型為

(3)

(4)

式中:kτ為磁轉矩系數;Δdτ為磁轉矩漏磁補償系數;km為懸浮力系數;Δdf為導磁體弧形漏磁補償系數.

3 串級LADRC控制器設計

3.1 控制方案設計

永磁懸浮系統(tǒng)采用PID控制雖然可以實現收斂,并最終達到穩(wěn)定,但系統(tǒng)響應速度較慢,抗干擾能力較差.自抗擾控制可以在被控對象不是非常準確的情況下實現控制,并具有較好的抗干擾能力.線性自抗擾控制具有結構簡單、參數整定方便、擾動跟蹤性能幾乎不隨擾動幅度發(fā)生變化等特點,因此,本文選用線性自抗擾控制.

由可變磁路式永磁懸浮系統(tǒng)控制原理可知,如果只采用氣隙閉環(huán)控制,角度變化緩慢,控制信號無法及時控制永磁體轉角,加之系統(tǒng)本身由電流信號轉換到永磁鐵轉角具有一定的滯后性.因此,采用雙閉環(huán)控制,內環(huán)為角度閉環(huán)采用PD控制器,外環(huán)為氣隙閉環(huán)采用LADRC控制器.角度環(huán)的控制目標是控制盤狀永磁體的旋轉角度,氣隙環(huán)的控制目標是控制懸浮物的位置,使懸浮物穩(wěn)定.串級線性自抗擾控制示意圖如圖4所示.

圖4 永磁懸浮LADRC控制系統(tǒng)原理圖Fig.4 Principle diagram of permanent magnetic levitation LADRC control system

3.2 LADRC控制器設計

根據磁懸浮系統(tǒng)的數學模型及控制方案可知,角度環(huán)和氣隙環(huán)都是二階數學模型,本文主要分析二階LADRC控制器的算法.

LADRC結構主要包括線性擴張狀態(tài)觀測器(LESO)和線性狀態(tài)誤差反饋控制器(LSEF).LADRC控制器結構圖如圖5所示.通過設計擴張狀態(tài)觀測器,以實時預估對象模型中的全部擾動為目標,設計一個PD狀態(tài)反饋控制器,消除擾動對系統(tǒng)輸出的影響.LADRC將自抗擾控制策略簡化為整定控制器帶寬ωc和觀測器帶寬ω0兩個量,從而實現對擾動的實時觀測和補償.

圖5 二階LADRC控制器結構圖Fig.5 Structure diagram of second-order LADRC controller

3.2.1 LESO設計

二階系統(tǒng)LESO方程可表示為

(5)

(6)

建立線性擴張狀態(tài)觀測器方程為

(7)

選取合適的觀測器增益β1、β2、β3,LESO能實現對系統(tǒng)中各變量的實時跟蹤.

采用帶寬法將觀測器特征方程的極點放在同一位置-ω0處,即

λ(s)=s3+β1s2+β2s+β3=(s+ω0)3

(8)

可得

3.2.2 LSEF設計

LADRC采用PD控制器作為線性狀態(tài)誤差反饋控制器,其表達式為

u0=kp(r-z1)-kdz2

(9)

(10)

同樣用帶寬配置,經過參數化可得

3.3 改進LADRC控制器設計

針對LADRC觀測器受系統(tǒng)帶寬限制所帶來的觀測及抗擾能力不足的問題,本文以提高線性自抗擾控制器的抗擾能力為目標,對傳統(tǒng)的LADRC結構框架進行改進,設計LESO控制器時將模型中已知部分代入LESO中進行輔助設計,從而提高控制效果.其中線性狀態(tài)誤差反饋控制器的設計保持不變.

對本文磁懸浮系統(tǒng)動力學建模可以得到式(5)中a1、a2,而ω、b未知,則該式可以改寫為

(11)

(12)

對應的擴張狀態(tài)觀測器方程式為

(13)

式中:z為觀測器的狀態(tài)變量,z→x;L為觀測器誤差反饋增益矩陣.重寫觀測器方程式為

(14)

式中:uc=[u,y]T為組合輸入;yc為輸出.

觀測器增益矩陣為

L=[β1,β2,β3]T

(15)

采用帶寬法配置,最終可得

由上述分析可知,采用模型輔助的LESO改進LADRC控制器結構如圖6所示.

圖6 輔助模型二階LADRC控制器結構圖Fig.6 Structure diagram of auxiliary model second-order LADRC controller

4 改進LADRC參數整定

根據LADRC的工作原理,二階LADRC控制器共有b0、ω0、ωc3個參數需要整定.通過頻域分析可知,LADRC控制器參數整定時,帶寬的選取對系統(tǒng)的穩(wěn)定性能和動態(tài)特性都有較大影響.圖7～9分別為通過頻域分析法分析b0、ω0、ωc3個參數取不同值時對系統(tǒng)性能的影響.

圖7 ω0變化的閉環(huán)伯德圖Fig.7 Bode diagrams of closed-loop with variation of ω0

從圖7中可以看出,當ω0逐漸增加時,閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬變化不大,對系統(tǒng)動態(tài)特性影響較小.從圖8中可以看出,當ωc逐漸增加時,閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬增大,系統(tǒng)調節(jié)時間減小.從圖9中可以看出,當b0逐漸增加時,閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬減小,系統(tǒng)調節(jié)時間增大.綜合考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性,本文外環(huán)LADRC控制器參數整定為b0=13、ω0=150、ωc=80.

圖8 ωc變化的閉環(huán)伯德圖Fig.8 Bode diagrams of closed-loop with variation of ωc

圖9 b0變化的閉環(huán)伯德圖Fig.9 Bode diagrams of closed-loop with variation of b0

5 仿真結果與分析

對該系統(tǒng)進行階躍外擾仿真和抵抗外擾力仿真,并將傳統(tǒng)LADRC控制、改進LADRC控制、PID控制分別作為串級控制的外環(huán),PD控制作為內環(huán)的3種控制方式進行對比分析.

5.1 位移階躍仿真分析

3種控制器階躍外擾仿真結果如圖10所示.系統(tǒng)在進入穩(wěn)定后的1 s時,加入幅值為0.1 mm,方向為氣隙變大方向的階躍外擾信號.采用PID控制時超調量為45.57%,穩(wěn)定時間約為0.8 s;采用LADRC控制時,超調量為23.53%,穩(wěn)定時間約為0.6 s;采用改進LADRC控制時,幾乎沒有超調量,穩(wěn)定時間約為0.3 s.

圖10 階躍外擾仿真結果Fig.10 Step disturbance simulation results

5.2 抵抗外擾力仿真分析

3種控制方法抗外擾力仿真結果如圖11所示.系統(tǒng)在進入穩(wěn)定后的1 s時,加入幅值為0.5 N,方向為使氣隙變大方向的外擾力.采用PID控制時氣隙最大變化量為0.21 mm,穩(wěn)定時間約為0.86 s;采用LADRC控制時,氣隙最大變化量為0.18 mm,穩(wěn)定時間約為0.68 s;采用改進LADRC控制時,氣隙最大變化量為0.12 mm,穩(wěn)定時間約為0.41 s.

圖11 抗外擾力仿真結果Fig.11 Anti-disturbance simulation results

對比分析可得3種控制方法中控制效果最好的為改進LADRC控制,系統(tǒng)響應速度較快,超調量小,響應曲線較為平滑.

6 結 論

本文通過上述分析可得如下結論:

1) 本文對單自由度可變磁路式永磁懸浮系統(tǒng)進行控制研究,提出了改進LADRC控制方法,以彌補傳統(tǒng)PID控制動態(tài)性能差、控制精度較低的缺點和傳統(tǒng)LADRC受帶寬影響導致抗擾能力不足的問題.

2) 本文系統(tǒng)采用了雙閉環(huán)控制,角度環(huán)采用PD控制器,氣隙環(huán)采用LADRC控制器.通過對比分析改進LADRC控制、傳統(tǒng)LADRC控制和經典PID控制的階躍外擾與抗外力仿真結果,表明采用改進LADRC控制器對可變磁路式永磁懸浮系統(tǒng)控制時,超調量較小,調節(jié)時間較短,較傳統(tǒng)LADRC和傳統(tǒng)PID控制其動態(tài)性能有所提高.