高中數學課堂教學優化策略探究
——以人教版必修第一冊“對數函數的圖像與性質”為例

盧 芳

(南京航空航天大學蘇州附屬中學,江蘇 蘇州 215000)

在以核心素養為導向的新一輪課程改革背景下,對高中數學教學提出了更高標準的要求,不僅需要教師在數學教學中傳授學科知識,還應培養學生形成數學思想,掌握數學學習的有效方法,促進學生形成關鍵能力與必備品質.在這種的教學要求之下,傳統的教學方式已經難以滿足高中生的數學學習與發展需求,需要教師探索數學教學方法的優化之路.“對數函數的圖像與性質”是高中數學教學中十分重要的內容,在教學策略的優化中教師可以通過類比學習、設計問題串、數形結合等途徑,幫助高中生突破數學學習的難關,提升數學教學質量.

1 類比學習,降低教學難度

數學知識之間或多或少都具有一定的聯系,且在學習方法上也會具有一定的通性.這些已經存在的聯系是學生學習新知識的有利因素,教師在教學過程中應該努力讓學生感知到知識之間的相關性,通過類比學習的方法,來引導學生形成一種比較完整且有效的學習思維,這樣也能降低學生學習新知識的難度,提高課堂教學效率.

2 設計問題串,進行知識串聯

設計問題串這一教學方法有利于學生對知識的循序漸進地吸收,讓學生在問題的引導下對知識由淺及深的進行認識,避免在學生對知識還不夠熟悉的情況下就跨難度層次去理解知識,這樣學生會產生畏難心理,對知識也無法有一個更加全面的認識[1].同時教師在設計問題串時要注意問題的銜接與知識之間的聯系性.

3 數形結合,培養數學技能

對于涉及到圖像學習的知識時,教師要善于聯系圖像的使用讓學生在解決問題的過程中訓練自身的數形結合能力,這既是培養學生對圖像使用的熟練性,讓學生能夠借用圖像的輔助來解決問題,同時又是對學生數學能力的提高,讓學生能夠在解題工具的使用中得心應手[2].

4 教案設計

接下來以高中數學人教A版必修一“對數函數的圖像與性質”為例,設計合理的教學步驟,體會教學方法在課堂教學中的重要性:

教材分析對數函數作為基本初等函數中較為重要的一類函數,對學生以后的函數學習能夠起到極大的輔助作用.對數函數的圖像與性質這一節內容要求學生在學習對數的概念以及對數的運算法則之后,能夠進一步掌握對數函數的圖像、定義以及如何將這些定義性質運用到實際問題的解決過程當中.同時作為高中階段基本初等函數中的一類分支,對于對數函數的學習,教師也可以設計出一套適用于其它函數教學的教學方案,通過類比教學法來將函數板塊銜接,有利于學生對函數整體學習的把握.

教學目標【知識與技能目標】

(1)學生在學習函數圖像與性質之前要理解對數函數的定義,深刻認識對數函數的本質;

(2)聯系前一章節學過的指數函數內容,能夠通過對對數函數的學習回顧指數函數的性質,熟悉這兩個函數在增長率上的差異,并能夠理解這兩個函數互為反函數.

【過程與方法目標】

(1)在對數函數問題進行討論的過程中,學生能夠熟悉函數問題解答的思路,提高自身在函數問題學習上的學習素養;

(2)針對問題思考時強化學生由特殊問題轉到一般問題的學習思想,充分訓練學生在思考問題時的轉化和化歸思想.

【情感態度與價值觀目標】

(1)讓學生在學習對數函數知識的過程中能夠感受到對數函數的魅力,體會到函數在我們生活中的重要性;

(2)通過感受對數函數、指數函數等不同函數在增長率上的差異體會函數的多元性.

教學重難點教學重點是理解對數函數的定義與性質,并能夠將其運用到實際問題當中;教學難點是讓學生理解將指數函數與對數函數聯系起來進行類比學習,并理解對數函數和指數函數是互為反函數的關系.

教學過程【問題引入,理解定義】

在引導學生學習對數函數的圖形以及性質之前,教師可以設計一系列的問題串讓學生逐步進入到對數函數的學習情境中來.值得注意的是,對數函數前一節學生已經學習過關于指數函數的知識,教師應該借用學生對指數函數知識的熟悉性,將對數函數與指數函數的知識進行聯系,通過對以往知識的掌握來熟悉新的知識.

問題1什么是指數函數?指數函數在圖像上有什么特點,具有什么樣的性質?

結論1一般來說,形如y=ax的函數為指數函數,其定義域為R,值域為(0,+∞);它在圖像上會經過y軸的(0,1)點,即當自變量x為0時,函數的值為1;指數函數的增減性質取決于a的值,當a大于1時,指數函數在整個定義域上都是增函數;當a大于0小于1時,它在定義域上為減函數.

問題2 指數函數是函數的一個分支,那么函數的本質和意義又是什么?

結論2函數在一定意義上就是兩個非空數集之間的對應關系,即在一個集合中取一個數,那么在另一個集合中也能找到一個數與之相對應,與之對應的數也是唯一的.那么,對于這個對應關系以及這兩個集合,我們就可以用函數、定義域以及值域來定義.

問題3指數函數的形式是y=ax,此時y是關于x的函數,那么反過來,x能成為y的函數嗎?

結論3通過對圖像的分析可知,指數函數中每一個x都有一個唯一y值與之相對應,每一個y值也有唯一的x值相對應,那么x與y之間的對應關系不只有y=ax,還有x=logay.在通常的函數中,我們將x作為比變量,y作為函數值,那么這個形式也可以變為y=logax,這就是所謂的對數函數.

設計意圖:通過學生學過的指數函數定義與圖像性質,讓學生以類比反推的形式理解對數函數,并掌握對數函數的一些基本性質.這樣有利于加深學生對于函數本身定義的理解,同時也有助于學生對函數的學習形成一個系統完整的思維,這樣學生在以后的學習中也能夠以此類推,掌握到數學學習方法的本質.

【探究差異,發現性質】對數函數的計算有點復雜,高中階段只需要學生記住幾個基礎對數函數的值即可,但是學生仍然應該掌握關于對數函數大小的比較,通過比較大小得出對數函數的性質.教師可以設計對數大小的比較,比如log0.54與log0.58的大小比較;log24和log28的大小比較;除了查表、計算器等解答方法,學生是否還能找到其它方法來解決?

【圖像法】針對上述問題,教師可以引導學生利用繪制對數函數的圖像來進行解答.在解決問題的過程中,學生應該考慮到第一組對數和第二組對數的a值是相同的,但是第一組的a值小于1,第二組的a值大于1,因此教師可以先引導學生將a取不同值是的對數函數圖像畫出來,然后聯系圖形來比較大小:

圖1 對數函數

由圖像可知,當a大于0小于1時,對數函數在整個定義域內為減函數,也就是說這個條件下x的值越大,y的值越小;而當a大于1時,情況恰恰相反,因此對于上述兩組對數大小的比較,其結果是:log0.54>log0.58;log24

設計意圖:這一環節利用對數大小的比較來引導學生探究解決問題的方法,通過圖像法的應用不但讓學生對對數函數的圖像有了一個比較基本的認識,同時還訓練了學生數形結合解決問題的能力.且在這個過程中,學生會思考不同的a值對對數函數值的影響,教師可以適當引導學生思考指數函數a值不同時不同自變量對應的函數值大小,讓學生以類似的方法去劃分a值,探究a值不同時對數函數值的大小.

【鞏固知識,靈活應用】在學生對對數函數的圖像以及性質有了一定的了解之后,教師要趁熱打鐵,通過一系列的實際問題來鞏固學生對這些性質的掌握程度.在設計問題時,教師要盡可能考慮到不同的性質,比如對數函數的判斷題,這一類題型可以考查學生對于對數函數公式以及基本定義的掌握;再比如采用x值不同、a值也不同的幾組對數讓學生來比較大小,考驗學生是否能夠通過不同a值對數之間的轉化,將其轉化為a值相同的情況下再來比較大小的能力,或者也可以讓學生引用圖像法給出一個大致的值域區間,通過比較區間的大小來進行對數值的比較.

設計意圖:這一環節主要是針對學生所學知識的考查,讓學生能夠在不同的題型當中體會到其中暗含的對數性質[3].這樣學生不僅可以熟悉題型,積累自己的解題經驗,還能夠將自身對性質的學習轉化為實際的解題能力,提高自身的數學技能.

總的來說,如何把握基本初等函數的圖像與性質并運用這些性質解決復合函數問題作為學生在高中階段應該掌握的數學能力,教師必須在實際教學環境中抓住各個知識點之間的內在聯系,不斷優化課堂,以便尋求到更適合學生學習的教學方案和思路.